Contraction du symbole de Christoffel

Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}\right)}$,

et profitant de la symétrie du tenseur métrique

${\displaystyle g_{li}=g_{il}~}$

on a

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2}}\left(g^{il}g_{lj,i}+g^{il}g_{il,j}-g^{il}g_{ij,l}\right)}$.

Échangeant ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle l}$ des produits internes du dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}g_{il,j}}$.

D'autre part la différentielle du déterminant ${\displaystyle \det {g}}$ s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle ${\displaystyle \mathrm {d} g_{ij}}$ d'un élément de matrice ${\displaystyle g_{ij}}$ par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice ${\displaystyle g^{ij}}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique ${\displaystyle g_{ij}}$, les mineurs cherchés sont ${\displaystyle (\det {g})g^{ij}}$. Ainsi ${\displaystyle \mathrm {d} (\det {g})=(\det {g})g^{ij}\mathrm {d} g_{ij}}$ et donc

${\displaystyle g^{ij}\partial _{k}\left(g_{ij}\right)={\frac {1}{g}}\partial _{k}\left(\det {g}\right)}$

On a donc

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2g}}\partial _{j}\left(\det {g}\right)}$.

∎

• Le symbole de Christoffel étant symétrique, on a ${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{ij}=\Gamma ^{i}{}_{ji}}$

• Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs.