Constante de Landau-Ramanujan

En théorie des nombres, la constante $b$ de Landau-Ramanujan apparaît dans le résultat de Landau de 1908 qui établit que le nombre d'entiers naturels inférieurs à $x$ qui sont la somme de deux carrés est asymptotiquement équivalent à

{\frac {bx}{\sqrt {\ln x}}}

lorsque $x$ tend vers l'infini[1]. Cette constante a été redécouverte indépendamment par Ramanujan en 1913[2].

Cette constante se développe en produit eulérien :

b={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-1/2}\approx 0{,}764~223

(suite A064533 de l'OEIS).

Puisque $ζ(2) = π 2 / 6$ , une expression équivalente est :

b={\frac {\pi }{4}}\quad \prod _{p\equiv 1{\bmod {4}}}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{1/2}

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Landau–Ramanujan constant » (voir la liste des auteurs).

Edmund Landau, Über die Einteilung der positive ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate, Arch. Math u. Phys. (3) 13 (1908), 305-312
Lettre à G.H. Hardy du 16 janvier 1913; voir: P. Moree and J. Cazaran, On a claim of Ramanujan in his first letter to Hardy, Exposition. Math. 17 (1999), no.4, 289-311.

(en) Richard E. Crandall et Carl B. Pomerance, Prime Numbers : A Computational Perspective, New York, NY, Springer, 2005 (1^re éd. 2001) (ISBN 978-0-387-28979-3, lire en ligne), p. 80

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