Constante de Komornik-Loreti

Étant donné un nombre réel ${\displaystyle q}$ > 1, la série

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}}$

est appelée une ${\displaystyle q}$-expansion, ou ${\displaystyle \beta }$-expansion, du nombre réel positif x si, pour tout ${\displaystyle n\geqslant 0}$ , ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \lfloor q\rfloor }$, où${\displaystyle \lfloor q\rfloor }$ est la partie entière inférieure de ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle a_{n}}$ peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant q\lfloor q\rfloor /(q-1)}$ possède une telle expansion, comme on peut le prouver en utilisant un algorithme glouton.

Le cas particulier où ${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle a_{0}=0}$, et ${\displaystyle a_{n}=0}$ ou ${\displaystyle a_{n}=1}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$, est parfois appelé un ${\displaystyle q}$-développement de 1. Dans le cas où ${\displaystyle a_{n}=1}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$, la seule valeur possible de ${\displaystyle q}$ est ${\displaystyle q}$ = 2. Cependant, pour presque tout ${\displaystyle 1<q<2}$, il existe un nombre infini de ${\displaystyle q}$-développements de 1. De manière encore plus surprenante, il existe des ${\displaystyle q\in [1,2]}$ pour lesquels il n'existe qu'un seul ${\displaystyle q}$ -développement. De plus, il existe un plus petit nombre ${\displaystyle 1<q<2}$ connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti pour lequel il existe un unique ${\displaystyle q}$-développement de 1[1].

La constante de Komornik-Loreti est la quantité ${\displaystyle q}$ telle que

${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}}$

où ${\displaystyle t_{k}}$ est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que ${\displaystyle t_{k}}$ est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de ${\displaystyle k}$ . Elle a pour valeur

${\displaystyle q=1,787231650\ldots .\,}$[2]

La suite de ses décimales est donnée par la suite A055060 de l'OEIS.

La constante ${\displaystyle q}$ est aussi la seule racine réelle positive de

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.}$

Cette constante est un nombre transcendant.

• Constante d'Euler-Mascheroni
• Mot de Fibonacci
• Séquence Golay – Rudin – Shapiro
• Constante de Prouhet – Thue – Morse