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Conjecture de PĂłlya

En thĂ©orie des nombres, la conjecture de PĂłlya Ă©nonce que la plupart (c'est-Ă -dire plus de la moitiĂ©) des entiers naturels infĂ©rieurs Ă  un entier donnĂ© ont un nombre impair de facteurs premiers. La conjecture a Ă©tĂ© proposĂ©e par le mathĂ©maticien hongrois George PĂłlya en 1919[1]. En 1958, il a Ă©tĂ© prouvĂ© que celle-ci Ă©tait fausse. La taille du plus petit contre-exemple est souvent utilisĂ©e pour montrer qu'une conjecture peut ĂȘtre vraie pour beaucoup de nombres tout en Ă©tant fausse.

Fonction sommatoire de la fonction de Liouville L(n) jusqu'Ă  n = 107.
Gros plan sur la fonction sommatoire de la fonction de Liouville L(n) dans la rĂ©gion oĂč la conjecture de PĂłlya est en dĂ©faut.

Assertion

La conjecture de PĂłlya Ă©nonce que pour tout entier n supĂ©rieur Ă  2, si l'on partitionne les entiers naturels infĂ©rieurs ou Ă©gaux Ă  n (en ne comptant pas 0) entre ceux qui ont un nombre impair de facteurs premiers et ceux qui en ont un nombre pair, alors le premier ensemble a plus (ou autant) d'Ă©lĂ©ments que le second. Il faut noter que les facteurs premiers sont comptĂ©s autant de fois qu'ils sont rĂ©pĂ©tĂ©s. Ainsi, 24 = 23 × 31 a 3 + 1 = 4 facteurs premiers, alors que 30 = 2 × 3 × 5 a 3 facteurs premiers.

De façon Ă©quivalente, la conjecture peut ĂȘtre formulĂ©e avec la fonction de Liouville de la façon suivante :

pour tout n > 1. Ici, λ(k) = (−1)Ω(k) vaut 1 si le nombre de facteurs premiers de l'entier k est pair, et -1 s'il est impair. La fonction Ω compte le nombre total de facteurs premiers d'un entier.

Contre-exemple

La conjecture de PĂłlya a Ă©tĂ© rĂ©futĂ©e par C. Brian Haselgrove en 1958. Il a montrĂ© qu'elle avait un contre-exemple, qu'il a estimĂ© Ă  environ 1,845 Ă— 10361[2].

Un contre-exemple explicite, pour n = 906 180 359, a Ă©tĂ© donnĂ© par R. Sherman Lehman en 1960[3] ; le plus petit contre-exemple est n = 906 150 257, trouvĂ© par Minoru Tanaka en 1980[4].

La conjecture de PĂłlya est en dĂ©faut pour la plupart des valeurs de n dans la rĂ©gion 906 150 257 ≀ n ≀ 906 488 079. Dans cette zone, la fonction de Liouville atteint une valeur maximale de 829 en n = 906 316 571.

Notes et références

  1. (de) George PĂłlya, « Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie », Jahresber. der DMV, vol. 28,‎ , p. 31-40
  2. (en) C. B. Haselgrove, « A disproof of a conjecture of PĂłlya », Mathematika, vol. 5, no 02,‎ , p. 141-145
  3. (en) R. S. Lehman, « On Liouville's function », Mathematics of Computation, vol. 14, no 72,‎ , p. 311-320 (lire en ligne)
  4. (en) M. Tanaka, « A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function », Tokyo Journal of Mathematics, vol. 3, no 1,‎ , p. 187-189 (lire en ligne)
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