Conjecture de PĂłlya
En thĂ©orie des nombres, la conjecture de PĂłlya Ă©nonce que la plupart (c'est-Ă -dire plus de la moitiĂ©) des entiers naturels infĂ©rieurs Ă un entier donnĂ© ont un nombre impair de facteurs premiers. La conjecture a Ă©tĂ© proposĂ©e par le mathĂ©maticien hongrois George PĂłlya en 1919[1]. En 1958, il a Ă©tĂ© prouvĂ© que celle-ci Ă©tait fausse. La taille du plus petit contre-exemple est souvent utilisĂ©e pour montrer qu'une conjecture peut ĂȘtre vraie pour beaucoup de nombres tout en Ă©tant fausse.
Assertion
La conjecture de Pólya énonce que pour tout entier n supérieur à 2, si l'on partitionne les entiers naturels inférieurs ou égaux à n (en ne comptant pas 0) entre ceux qui ont un nombre impair de facteurs premiers et ceux qui en ont un nombre pair, alors le premier ensemble a plus (ou autant) d'éléments que le second. Il faut noter que les facteurs premiers sont comptés autant de fois qu'ils sont répétés. Ainsi, 24 = 23 à 31 a 3 + 1 = 4 facteurs premiers, alors que 30 = 2 à 3 à 5 a 3 facteurs premiers.
De façon Ă©quivalente, la conjecture peut ĂȘtre formulĂ©e avec la fonction de Liouville de la façon suivante :
pour tout n > 1. Ici, λ(k) = (â1)Ω(k) vaut 1 si le nombre de facteurs premiers de l'entier k est pair, et -1 s'il est impair. La fonction Ω compte le nombre total de facteurs premiers d'un entier.
Contre-exemple
La conjecture de PĂłlya a Ă©tĂ© rĂ©futĂ©e par C. Brian Haselgrove en 1958. Il a montrĂ© qu'elle avait un contre-exemple, qu'il a estimĂ© Ă environ 1,845 ĂâŻ10361[2].
Un contre-exemple explicite, pour n = 906 180 359, a été donné par R. Sherman Lehman en 1960[3] ; le plus petit contre-exemple est n = 906 150 257, trouvé par Minoru Tanaka en 1980[4].
La conjecture de Pólya est en défaut pour la plupart des valeurs de n dans la région 906 150 257 †n †906 488 079. Dans cette zone, la fonction de Liouville atteint une valeur maximale de 829 en n = 906 316 571.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de lâarticle de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « PĂłlya conjecture » (voir la liste des auteurs).
- (de) George PĂłlya, « Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie », Jahresber. der DMV, vol. 28,â , p. 31-40
- (en) C. B. Haselgrove, « A disproof of a conjecture of PĂłlya », Mathematika, vol. 5, no 02,â , p. 141-145
- (en) R. S. Lehman, « On Liouville's function », Mathematics of Computation, vol. 14, no 72,â , p. 311-320 (lire en ligne)
- (en) M. Tanaka, « A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function », Tokyo Journal of Mathematics, vol. 3, no 1,â , p. 187-189 (lire en ligne)