Conjecture d'Erdős-Turán sur les bases additives

À la fin de leur article, Erdős et Turán énoncent deux conjectures sur la fonction f(n) = nombre de représentations de n comme somme de deux termes (non nécessairement distincts) d'un ensemble donné B d'entiers naturels. La seconde est :

L'hypothèse « f(n) > 0 pour n assez grand » se reformule en disant[2] que B est une base additive (asymptotique) d'ordre 2.

Ce problème a retenu l'attention des spécialistes[2], mais n'est toujours pas résolu.

Dans cette conjecture non résolue, il y a eu cependant des avancées significatives.

On peut d'abord étendre le problème de l'ordre 2 à l'ordre h : on dit qu'un ensemble B d'entiers naturels est une base additive (asymptotique) d'ordre h si tout entier assez grand s'écrit comme somme de h éléments de B, autrement dit si la fonction associée (qui pour h = 2 est la fonction f d'Erdős et Turán)

${\displaystyle r_{h,B}(n)={\text{card}}\left(\{(a_{1},\ldots ,a_{h})\in B^{h}~|~a_{1}+\ldots +a_{h}=n\}\right)}$

vérifie, pour n assez grand :

${\displaystyle r_{h,B}(n)>0.}$

Or un argument élémentaire montre que l'on a toujours

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}r_{h,B}(m)\leq \left({\text{card}}(B\cap [1,n])\right)^{h}\leq \sum _{m=1}^{hn}r_{h,B}(m).}$

Il en résulte[2] que si B est une base d'ordre h alors card(B∩[1, n]) = Ω(n^1/h).

Erdős a réussi en 1956 à répondre positivement (bien que non explicitement) à une question posée par Sidon plus de vingt ans auparavant[3] : existe-t-il une base additive B d'ordre 2 telle que, pour tout ε > 0, r_2,B(n) = o(n^ε) ? Plus précisément, il a montré, par une utilisation répétée du théorème de Borel-Cantelli, l'existence de deux constantes c₃ et c₂ > 0 telles que pour presque tout ensemble infini B d'entiers naturels on ait, pour n assez grand :

${\displaystyle c_{2}\log n<r_{2,B}(n)<c_{3}\log n,}$

ce qui l'a amené à poser la question : existe-t-il un ensemble infini B d'entiers naturels tel que r_{2, B}(n)/log(n) possède une limite non nulle ?

En 1986, Eduard Wirsing a démontré que pour une large classe de bases additives B, incluant celle des nombres premiers, il existe une partie de B qui est encore une base additive mais qui est significativement plus « fine » que B (au sens de la comparaison asymptotique des fonctions r correspondantes)[4].

En 1990, Erdős et Tetali ont étendu le résultat de 1956 d'Erdős à des bases d'ordre arbitraire[5].

En 2000, Van H. Vu a démontré que les bases de Waring possèdent des sous-bases « fines », à l'aide de la méthode du cercle de Hardy-Littlewood et de ses résultats de concentration polynomiale[6].

En 2006, Borwein, Choi et Chu ont démontré que pour toute base B d'ordre 2, sup(r_2,B(n)) ≥ 8[7] - [8].