Soit
le bien public et
(
) les biens privés. La fonction de production sous forme implicite est donnée par l'expression suivante:
oĂč
est la quantité produite du bien j.
Les fonctions d'utilité sont:
![{\displaystyle u_{i}(q_{o},q_{i1},q_{i2},\ldots ,q_{im})\qquad i=1,2,\ldots ,h}](https://img.franco.wiki/i/e177b4f8d916f60c5241e7c6b497ffaaa4b0459b.svg)
oĂč
est la quantitĂ© du bien j consommĂ©e par lâindividu i. Il n'y a pas d'indice i pour la quantitĂ© consommĂ©e du bien public car elle est la mĂȘme pour tout le monde. Par contre, chaque individu consomme une quantitĂ© de bien privĂ© qui dĂ©pend de ses prĂ©fĂ©rences et de son revenu.
Un Ă©tat de rendement social maximum peut ĂȘtre obtenu en maximisant l'utilitĂ© du premier consommateur sous les contraintes usuelles. Le lagrangien est:
![{\displaystyle L=u_{1}(q_{o},q_{11},q_{12},\ldots ,q_{1m})+\sum _{i=2}^{h}\lambda _{i}(u_{i}-u_{i}^{o})+\sigma \varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},\ldots ,{\hat {q}}_{m})+\mu _{o}(q_{o}^{o}+{\hat {q}}_{o}-q_{o})+\sum _{j=1}^{m}\mu _{j}(q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-\sum _{\alpha =1}^{h}q_{\alpha j})}](https://img.franco.wiki/i/ffb862d03e7ccb1e4365725a192a1e973adc13ea.svg)
oĂč
sont les multiplicateurs de Lagrange et
est le stock du bien j.
Les conditions de premier ordre sont:
![{\displaystyle (1)\qquad {\frac {\partial L}{\partial q_{o}}}=\sum _{\alpha =1}^{h}\lambda _{\alpha }{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{o}}}-\mu _{o}=0\qquad (\lambda _{1}=1)}](https://img.franco.wiki/i/17139ec1be78268e11c469d471bd60324deccbea.svg)
- ;\quad j=1,2,\ldots ,m}
![{\displaystyle (2)\qquad {\frac {\partial L}{\partial q_{\alpha j}}}=\lambda _{\alpha }{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}-\mu _{j}=0\qquad \qquad \quad \alpha =1,2,\ldots ,h\quad ;\quad j=1,2,\ldots ,m}](https://img.franco.wiki/i/1e8abc3c08b188b8920ffbb56505567864707485.svg)
![{\displaystyle (3)\qquad {\frac {\partial L}{\partial {\hat {q}}_{s}}}=\sigma {\frac {\partial \varphi }{\partial {\hat {q}}_{s}}}+\mu _{s}=0\qquad \qquad \qquad s=0,1,\ldots ,m}](https://img.franco.wiki/i/ad18e6a14937c2a57692f3f30339580960f7e68d.svg)
![{\displaystyle (4)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \lambda _{i}}}=u_{i}-u_{i}^{o}=0\qquad \qquad \qquad \quad \;i=2,3,\ldots ,h}](https://img.franco.wiki/i/62004b052c1eac7ac924c5f807cd4427abb833d6.svg)
![{\displaystyle (5)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \sigma }}=\varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})=0}](https://img.franco.wiki/i/56e9a853196a69877f798b4d57b037f9d868c3da.svg)
![{\displaystyle (6)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \mu _{o}}}=q_{o}^{o}+{\hat {q}}_{o}-q_{o}=0}](https://img.franco.wiki/i/838bf2d114996a415e205df6f1eaf81d63dca96a.svg)
![{\displaystyle (7)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \mu _{j}}}=q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-\sum _{\alpha =1}^{h}q_{\alpha j}=0}](https://img.franco.wiki/i/175cc5db830ee441c27034c089d7643c50a68e19.svg)
En Ă©liminant les multiplicateurs de Lagrange, on obtient:
![{\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{h}{\frac {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{o}}}{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}}={\frac {\varphi _{o}}{\varphi _{j}}}}](https://img.franco.wiki/i/0a169f2cd4a77a342b56502d9804114a8e8d756d.svg)
![{\displaystyle {\frac {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha s}}}}={\frac {\varphi _{j}}{\varphi _{s}}}}](https://img.franco.wiki/i/989b7bcfbd1b34169111a9014175101ab37cb1a9.svg)
Lorsque l'on prend les trois quantités consommées
,
et
, on peut Ă©crire:
![{\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{h}TMS_{oj}^{\alpha }=TTP_{oj}}](https://img.franco.wiki/i/6972fdf513fa02cc77269b28d5d7f404c2635e08.svg)
![{\displaystyle TMS_{js}^{\alpha }=TTP_{js}}](https://img.franco.wiki/i/9cef564ec90805d5ff83a48a0eebc9a8297ee393.svg)
La deuxiĂšme relation, relative aux biens privĂ©s j et s, est identique Ă celle obtenue dans l'Ă©conomie du bien-ĂȘtre. Les taux marginaux de substitution (TMS) doivent ĂȘtre Ă©gaux aux taux de transformation des produits (TTP).
La premiĂšre relation nous donne la condition d'optimalitĂ© pour le bien public. La somme des taux marginaux de substitution (entre le bien public et un bien privĂ© quelconque) de tous les consommateurs doit ĂȘtre Ă©gale au taux de transformation des produits.