Condensation de Bose-Einstein généralisée

Nous donnons ici la formulation mathématique du concept de condensation de Bose-Einstein original tel qu'il fut formulé par Einstein en premier lieu. On se place dans l'ensemble grand-canonique (volume constant V, température T, potentiel chimique ${\displaystyle \mu }$), dans le cas du gaz parfait de boson dans une boîte cubique ${\displaystyle \Lambda =L^{3}\in R^{3},\ V=L^{3}}$, on a condensation de Bose-Einstein si on a occupation macroscopique de l'état fondamental en limite de volume infini (densité de particule sans vitesse strictement positive) :

• ${\displaystyle {\frac {N_{0}}{V}}\rightarrow n_{0}>0}$

Il explique cela par le fait que la partie excité du gaz a une densité :

• ${\displaystyle {\frac {N}{V}}\rightarrow n=\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {e^{\beta \mu }}{\lambda _{\beta }^{3}j^{3/2}}}}$

qui sature à une valeur constante (pour le potentiel chimique nul) :

• ${\displaystyle n_{c}=\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{\beta }^{3}j^{3/2}}}}$

où ${\displaystyle \beta =1/k_{B}T}$ (avec ${\displaystyle k_{B}}$ la constante de Boltzmann) et ${\displaystyle \lambda _{\beta }={\frac {h}{\sqrt {2\pi m/\beta }}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}}={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\mathrm {B} }T}}}}$ la longueur d'onde thermique de de Broglie.

Cette formulation a été reprise par Fritz London en 1938[10] de manière plus explicite et plus précise de sorte à mettre terme à la controverse présentée par Ulhenbech dans sa thèse de 1927 critiquant la validité mathématique de l'hypothèse d'Einstein. London dit que pour une densité fixée ${\displaystyle n=N/V}$, le potentiel chimique ${\displaystyle \mu }$ devient une solution de l'équation :

• ${\displaystyle n={\frac {N}{V}}(\beta ,\mu )}$

ainsi pour chaque valeur du volume V, ${\displaystyle \mu }$ prend une certaine valeur qui dépend de ${\displaystyle \beta }$, de la densité ${\displaystyle n}$ et du volume ${\displaystyle V}$. En choisissant ${\displaystyle \mu =-A/\beta V+O(1/V)}$ comme asymptotique de la solution, on obtient que la densité de particule dans l'état fondamentale s'écrit :

• ${\displaystyle {\frac {N_{0}}{V}}={\frac {1}{V}}{\frac {1}{e^{-\beta \mu }-1}}={\frac {1}{e^{A/V+O(1/V)}-1}}\rightarrow {\frac {1}{A}}>0}$

A est alors solution de l'équation :

• ${\displaystyle {\frac {1}{A}}=n-n_{c}}$

Le premier à avoir formulé un modèle permettant l'étude de condensat pour le gaz parfait dans des pièges anisotropes fut H.B.G.Casimir en 1968 qui se posait notamment la question de l'existence de cohérence pour des gaz piégés dans des prisme très allongés. L'étude des cohérence dépendant du modèle de géométrie n'a par ailleurs été formulé d'un point de vue rigoureux que récemment (Beau 2009, Beau-Zagrebnov 2010) ce qui a permis de répondre à ces questions assez controversées sur l'existence d'une cohérence macroscopique dans des milieux anisotropes. Nous verrons par la suite que sous certaines conditions d'anisotropie et de paramètres thermodynamique, les propriétés de cohérences quantiques peuvent être de natures différentes quant à l'échelle de grandeur à laquelle elle se trouve prédite. On peut trouver une discussion sur cette question dans Ziff-Ulhenbeck-Kac (1979) ainsi que dans van den Berg (1983). Le modèle d'étude que nous allons présenter, est un gaz parfait dans des boîtes anisotropes. On peut remarquer très justement que celui-ci manque de réalisme si on le compare aux modèles décrivant les expériences concernant la condensation, cependant il présente une première approche satisfaisante et dont les résultats sont si étonnant, malgré l'apparente simplicité du modèle, qu'ils posent de nouvelles questions en référence aux théories des gaz dilués et de la superfluidité de l'hélium pour lesquels les propriétés de cohérence quantique restent encore à clarifier.

• Condensat de Bose-Einstein