Commande Robuste d'Ordre Non Entier

La commande CRONE a été décrite pour la première fois par Alain Oustaloup à l'ENSERB (Bordeaux,France) en 1989 dans un article à propos de la stabilité des manipulateurs fortement non linéaires[1], et qui fera l'objet d'un livre en 1991 intitulé "La Commande CRONE" aux éditions Hermes[2] - [3].

La principale particularité de cette commande est qu'elle est d'ordre non entier, c'est-à-dire que les puissances des variables de Laplace ne sont pas entières. De par la définition de ces variables, cela signifie que la commande fait intervenir des dérivées non entières.

La forme idéale du correcteur dans le domaine de Laplace s'écrit:

${\displaystyle C(s)=C_{0}\left({\frac {1+{\frac {s}{\omega _{min}}}}{1+{\frac {s}{\omega _{max}}}}}\right)^{m}}$

• ${\displaystyle s}$: variable de Laplace
• ${\displaystyle C_{0}}$: gain statique
• ${\displaystyle [\omega _{min},\omega _{max}]}$: gabarit de la fenêtre fréquentielle
• ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$: puissance non entière

En pratique, il n'est pas possible de réaliser cette commande à cause des dérivées non entières. On se contente donc pour sa réalisation, de l'approximation ci-dessous :

${\displaystyle C_{r}(s)=C_{0}\left({\frac {1+{\frac {s}{\omega _{min}}}}{1+{\frac {s}{\omega _{max}}}}}\right)^{m_{e}}\prod _{k=1}^{N}{\frac {1+{\frac {s}{\omega _{k}^{z}}}}{1+{\frac {s}{\omega _{k}^{p}}}}}}$

Cette commande CRONE réduite correspond physiquement à une succession de circuits RC parallèles. Dont les notations sont les suivantes :

• ${\displaystyle s}$: variable de Laplace
• ${\displaystyle C_{0}}$ : gain statique
• ${\displaystyle \omega _{k}^{z},\omega _{k}^{p}}$ : zéros et pôles des différents circuits RC fictifs
• ${\displaystyle N}$ : nombre de circuits RC considérés pour approximer l'ordre non entier
• ${\displaystyle m_{e}\in \mathbb {N} }$ : partie entière de ${\displaystyle m}$, (i.e. ${\displaystyle m_{e}=\lfloor m\rfloor }$)

L'objectif de cette section est de présenter une méthode afin de créer un régulateur pour la commande CRONE. Notamment, comment trouver les paramètres du régulateur CRONE réel ci-dessus à partir de la connaissance du système à contrôler.