Commande LQ

Considérons le système linéaire stationnaire ayant pour équation d'état

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

où ${\displaystyle x\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ est l'état, ${\displaystyle u\left(t\right)\in \mathbb {R} ^{m}}$ est la commande, et A et B sont des matrices constantes appartenant à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ et ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times m}}$ respectivement. Considérons d'autre part le critère

${\displaystyle J\left(u\right)=\int _{0}^{+\infty }\left(x^{T}\left(t\right)Qx\left(t\right)+u^{T}\left(t\right)Ru\left(t\right)\right)dt}$

où ${\displaystyle Q\ \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ et ${\displaystyle R\ \in \mathbb {R} ^{m\times m}}$ sont des matrices symétriques réelles, semi-définie positive et définie positive respectivement.

Il peut être utile de considérer un critère un peu plus général, de la forme[12]

${\displaystyle J\left(u\right)=\int _{0}^{+\infty }e^{2\alpha t}\left(x^{T}\left(t\right)Qx\left(t\right)+u^{T}\left(t\right)Ru\left(t\right)\right)dt}$

où ${\displaystyle \alpha \geq 0}$. On se ramène au cas précédent en posant ${\displaystyle x_{\alpha }\left(t\right)=e^{\alpha t}x\left(t\right)}$, ${\displaystyle u_{\alpha }\left(t\right)=e^{\alpha t}u\left(t\right)}$. L'équation d'état devient

${\displaystyle {\dot {x}}_{\alpha }=A_{\alpha }x_{\alpha }+Bu_{\alpha }}$

où ${\displaystyle A_{\alpha }=A+\alpha I_{n}}$.

Notons d'abord que si une commande optimale existe, elle est unique, car l'intégrande du critère est strictement convexe en u.

Considérons la matrice hamiltonienne de dimension ${\displaystyle 2n\times 2n}$

${\displaystyle H=\left[{\begin{array}{cc}A_{\alpha }&-BR^{-1}B^{T}\\-Q&-A_{\alpha }^{T}\end{array}}\right]}$

et la condition

(a): H n'a pas de valeur propre imaginaire.

On montre facilement que si ${\displaystyle \lambda }$ est une valeur propre de H, ${\displaystyle -\lambda }$ l'est aussi[9]. Par conséquent, si la condition (a) est satisfaite, il existe une matrice de changement de base ${\displaystyle N=\left[{\begin{array}{cc}N_{1}&N_{2}\end{array}}\right]}$ telle que ${\displaystyle N^{-1}HN}$ soit sous forme de Jordan, les n premiers (resp. derniers) blocs étant associés à des valeurs propres ${\displaystyle \lambda _{i}}$ telles que ${\displaystyle \Re \left(\lambda _{i}\right)<0}$ (resp. ${\displaystyle \Re \left(\lambda _{i}\right)>0}$). Soit alors

${\displaystyle N_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}\nu _{1}&\ldots &\nu _{n}\end{array}}\right]}$, ${\displaystyle \nu _{i}=\left[{\begin{array}{c}\xi _{i}\\\eta _{i}\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle \left(1\leq i\leq n\right)}$, ${\displaystyle \eta =\left[{\begin{array}{ccc}\eta _{1}&\ldots &\eta _{n}\end{array}}\right]}$, ${\displaystyle \xi =\left[{\begin{array}{ccc}\xi _{1}&\ldots &\xi _{n}\end{array}}\right]}$.

Si la matrice ${\displaystyle \xi }$ est inversible, ${\displaystyle P_{\infty }=\eta \xi ^{-1}}$ est une solution de l'« équation algébrique de Riccati »[9] - [13]

${\displaystyle A_{\alpha }^{T}P+PA_{\alpha }-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0}$.

Soit les conditions

(b): La paire ${\displaystyle \left(A_{\alpha },B\right)}$ est stabilisable.

(c): La matrice ${\displaystyle \xi }$ est inversible, ${\displaystyle P_{\infty }}$ est une solution symétrique réelle semi-définie positive de l'équation algébrique de Riccati ci-dessus, la matrice ${\displaystyle A_{\alpha }-BK}$ (avec ${\displaystyle K=R^{-1}B^{T}{\bar {P}}}$) a toutes ses valeurs propres dans le demi-plan gauche ouvert, et la commande en boucle fermée ${\displaystyle {\hat {u}}=-Kx}$, ${\displaystyle K=R^{-1}B^{T}{\bar {P}}}$, est la commande optimale.

On a le résultat suivant[9] - [15] - [13] - [16]:

On notera que, du point de vue numérique, il est préférable, pour résoudre l'équation algébrique de Riccati, d'utiliser la forme de Schur de H plutôt que sa forme de Jordan[11].

Dans tout ce qui suit on suppose les conditions (a) et (b) satisfaites. Le nombre de composantes du vecteur d'état (resp. de commande) est n (resp. m).

Soit ${\displaystyle L\left(s\right)=K\left(sI_{n}-A\right)^{-1}B}$ la matrice de transfert de la boucle ouverte, quand l'ouverture a lieu à l'entrée du système. Soit également, pour simplifier les écritures, ${\displaystyle L_{\alpha }\left(s\right)=L\left(s-\alpha \right)}$, ${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left(s\right)=\left(sI_{n}-A_{\alpha }\right)^{-1}}$, et ${\displaystyle \left(.\right)^{\sim }\left(s\right)=\left(.\right)^{T}\left(-s\right)}$. Kalman a montré l'égalité suivante[3]:

${\displaystyle \left[I_{m}+L_{\alpha }\left(s\right)\right]^{\sim }R\left[I_{m}+L_{\alpha }\left(s\right)\right]=R+B^{T}\Phi _{\alpha }^{\sim }\left(s\right)Q\Phi _{\alpha }\left(s\right)B}$.

En remplaçant s par ${\displaystyle i\omega }$ on en conclut que pour tout ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}\left({\sqrt {R}}S_{i}\left(i\omega -\alpha \right){\sqrt {R^{-1}}}\right)\leq 1}$

où ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ désigne la plus grande valeur singulière, ${\displaystyle S_{i}\left(s\right)}$ est la « matrice de sensibilité » en entrée du système, à savoir ${\displaystyle S_{i}=\left(I_{m}+L\right)^{-1}}$, et ${\displaystyle {\sqrt {\left(.\right)}}}$ désigne la racine carrée symétrique de la matrice symétrique réelle (semi-)définie positive ${\displaystyle \left(.\right)}$. En utilisant la « norme Hinfini » on en déduit par le principe du module maximum que[13]

${\displaystyle \left\Vert {\sqrt {R}}S_{i}{\sqrt {R^{-1}}}\right\Vert _{\infty }=1}$

d'où encore

${\displaystyle \left\Vert S_{i}\right\Vert _{\infty }\leq {\sqrt {\frac {\lambda _{max}\left(R\right)}{\lambda _{min}\left(R\right)}}}}$

où ${\displaystyle \lambda _{min}\left(.\right)}$ (resp. ${\displaystyle \lambda _{max}\left(.\right)}$) désigne la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de ${\displaystyle \left(.\right)}$. La quantité ${\displaystyle {\frac {1}{\left\Vert S_{i}\right\Vert _{\infty }}}}$ est la marge de module (en entrée du système) et est notée ${\displaystyle Mm_{i}}$. On a donc obtenu[17]

${\displaystyle Mm_{i}\geq {\sqrt {\frac {\lambda _{min}\left(R\right)}{\lambda _{max}\left(R\right)}}}}$.

Dans le cas ${\displaystyle m=1}$ (une seule entrée), la marge de module s'interprète géométriquement comme étant la distance entre le lieu de Nyquist de la fonction de transfert de la boucle ouverte et le point critique -1. Par un raisonnement géométrique élémentaire, on en déduit que, pour un système bouclé ayant une marge de module ${\displaystyle Mm_{i}}$, la marge de gain inclut l'intervalle ${\displaystyle \left]{\frac {1}{1+Mm_{i}}},{\frac {1}{1-Mm_{i}}}\right[}$ et que la marge de phase est d'au moins ${\displaystyle 2\arcsin \left({\frac {Mm_{i}}{2}}\right)}$ rad. Le minorant donné ci-dessus pour ${\displaystyle Mm_{i}}$ dans le cas de la commande LQ (avec ${\displaystyle m=1}$) est égal à 1, d'où on déduit[12] que la commande LQ monovariable produit une marge de gain d'au moins ${\displaystyle \left]{\frac {1}{2}},+\infty \right[}$ et une marge de phase d'au moins 60°.

Dans le cas ${\displaystyle m>1}$, l'interprétation géométrique ci-dessus n'est plus valide; en revanche, on peut encore donner un sens à la marge de gain et à la marge de phase[18], dont un minorant fonction de la marge de module est encore donné par les relations ci-dessus[13]. En particulier, si R est une « matrice scalaire » (i.e. ${\displaystyle R=rI_{m}}$, où r est un réel strictement positif), la marge de gain est de nouveau d'au moins ${\displaystyle \left]{\frac {1}{2}},+\infty \right[}$ et la marge de phase d'au moins 60°. Ces propriétés de robustesse font l'un des intérêts majeurs de la commande linéaire quadratique.

Une fois la réduction ci-dessus réalisée, la méthode la plus simple consiste à prendre ${\displaystyle Q=0}$, ${\displaystyle R=I_{m}}$, et à prendre pour ${\displaystyle \alpha }$ un réel strictement positif qui ne soit la partie réelle d'aucune des valeurs propres de ${\displaystyle -A}$. En effet, la matrice hamiltonienne s'écrit alors

${\displaystyle H=\left[{\begin{array}{cc}A_{\alpha }&-BB^{T}\\0&-A_{\alpha }^{T}\end{array}}\right]}$

et elle n'a pas de valeurs propres imaginaires si, et seulement si ${\displaystyle A_{\alpha }}$ n'a pas de valeurs propres imaginaires. Soit alors ${\displaystyle \pi _{1},...,\pi _{q}}$ les valeurs propres distinctes de A (c'est-à-dire les pôles du système en boucle ouverte). Alors les pôles du système en boucle fermée sont ${\displaystyle {\check {\lambda }}_{1},...,{\check {\lambda }}_{q}}$ où

${\displaystyle {\check {\lambda }}_{i}=\left\{{\begin{array}{c}\pi _{i}{\text{ si }}\Re \left(\pi _{i}\right)<-\alpha ,\\-\pi _{i}-2\alpha {\text{ si }}\Re \left(\pi _{i}\right)>-\alpha .\end{array}}\right.}$

On peut donc adopter une démarche assez analogue au placement de pôles (avec, toutefois, la différence que les pôles du système bouclé ne sont pas arbitrairement placés), en ajustant, par quelques essais-erreurs, la valeur du paramètre ${\displaystyle \alpha }$ de manière que le comportement du système bouclé soit conforme au cahier des charges.

Si, par la méthode précédente, on ne peut pas aboutir à un résultat satisfaisant, on prendra ${\displaystyle \alpha =0}$ et on choisira

${\displaystyle Q=diag\left(q_{1},...,q_{n}\right),\ R=diag\left(r_{1},...,r_{m}\right)}$

où les ${\displaystyle q_{i}}$ et ${\displaystyle r_{i}}$ sont des réels strictement positifs. Plus la pondération ${\displaystyle q_{i}}$ (resp. ${\displaystyle r_{i}}$) sera grande, plus on contraindra la variable ${\displaystyle x_{i}}$ (resp. ${\displaystyle u_{i}}$) à ne prendre que des petites valeurs dans le régime transitoire. Il est à noter que si l'on multiplie Q et R par le même réel ${\displaystyle \eta >0}$, le critère est multiplié par ${\displaystyle \eta }$ et la commande optimale est donc inchangée (en effet, ${\displaystyle J\left(u\right)}$ est minimal si, et seulement si ${\displaystyle \eta J\left(u\right)}$ est minimal). Il faut tenir compte de ce phénomène pour ne pas « tourner en rond » dans le processus de choix des pondérations.

Comme pour toute commande par retour d'état, le concepteur aura pris soin, dès le début, de faire les augmentations d'état nécessaires si le problème à résoudre est un problème d’asservissement (et non pas seulement de stabilisation ou d'amortissement de pôles oscillants)[13] - [17].

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