ComĂšte de Goldbach
La comĂšte de Goldbach[1] est le nom donnĂ© Ă un tracĂ© de la fonction , que l'on appelle fonction de Goldbach. La fonction de Goldbach est Ă©tudiĂ©e en relation avec la conjecture de Goldbach. La fonction est dĂ©fini pour tous les entiers pairs pour ĂȘtre le nombre de façons diffĂ©rentes dans laquelle E peut ĂȘtre exprimĂ©e comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, car 22 peut ĂȘtre exprimĂ©e comme la somme de deux nombres premiers de trois maniĂšres diffĂ©rentes ().
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Anatomie de la ComĂšte de Goldbach
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Un moyen de prĂ©senter les donnĂ©es de la comĂšte est sous forme d'histogramme. La fonction peut ĂȘtre normalisĂ©e en divisant par la valeur localement moyenne de g, gav, en prenant environ 1000 valeurs avoisinant le nombre pair E. L'histogramme peut alors ĂȘtre accumulĂ© sur une plage allant jusqu'Ă environ 10 % de chaque cĂŽtĂ© de centrale E.
Un tel histogramme apparaĂźt Ă droite. Une sĂ©rie de pics bien dĂ©finis est Ă©vidente. Chacune de ces pics peut ĂȘtre identifiĂ©e comme Ă©tant formĂ©e par un ensemble de valeurs de , qui ont des plus petits facteurs. Les principaux pics correspondent aux facteurs les plus bas de 3, 5, 7... comme reprĂ©sentĂ© plus haut.
Il existe une hiérarchie de pics; les pics principaux sont composés de pics subsidiaires, avec une succession de seconds plus petits facteurs de . Cette hiérarchie se poursuit jusqu'à ce que tous les facteurs soient épuisés.
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La section agrandie montre la succession de pics subsidiaires plus en détail.
La position relative des pics résulte de la forme développée par Hardy et Littlewood[2]:
oĂč le produit est pris sur l'ensemble des nombres premiers p qui sont des facteurs de . Le facteur sur la droite est la constante de premiers jumeaux
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Ici le produit concerne les nombres premiers supérieur à 2.
Le pic formĂ© en sĂ©lectionnant uniquement les valeurs de qui sont premiers est d'un intĂ©rĂȘt particulier. Le facteur de produit dans l'Ă©quation (1) est alors trĂšs proche de 1. Le pic est trĂšs proche d'une forme Gaussienne (en gris). Pour cette gamme de valeurs de E, l'emplacement du sommet est Ă 0,03 % de l'idĂ©al .
Quand les histogrammes sont formĂ©s pour les moyennes de diffĂ©rentes valeurs de E, la largeur de ce (premier uniquement) pic se trouve ĂȘtre proportionnelle Ă .
Articles connexes
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de lâarticle de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Goldbach's comet » (voir la liste des auteurs).
- Fliegel, Henry F.; Robertson, Douglas S.; "Goldbach's Comet: the numbers related to Goldbach's Conjectureâ; Journal of Recreational Mathematics, v21(1) 1-7, 1989.
- G. H. Hardy and J. E. Littlewood, "Some problems of 'partitio numerorum'; III: on the expression of a number as a sum of primes", Acta Mathematica, vol. 44, pp. 1-70, 1922.