Codage zeta

Le codage zeta ou codage de Boldi-Vigna est un codage entropique inventé par Paolo Boldi et Sebastiano Vigna en 2003 et utilisé essentiellement en compression de graphes.

Le code zeta produit est un code préfixe et universel.

Principe

Le codage zeta d'un entier naturel $N$ dépend d'un paramètre $k$ et se fait en deux étapes :

le codage de l'exposant de la plus grande puissance de $2^{k}$ inférieure ou égale à $N$ avec un codage unaire ;
le codage de la différence entre $N$ et cette plus grande puissance avec un codage binaire tronqué.

Mathématiquement, pour coder un entier $N,N\in \left[(2^{k})^{h}..(2^{k})^{h+1}\right]$ , on code d'abord $h={\Big \lfloor }{\dfrac {\lfloor \log _{2}N\rfloor }{k}}{\Big \rfloor }$ en unaire, puis $N-(2^{k})^{h}$ en binaire tronqué avec un alphabet de taille $(2^{k})^{h+1}-(2^{k})^{h}$

On appelle $\zeta _{k}$ la fonction associant à un entier naturel son code zeta paramétré par $k$ .

Le codage zeta de paramètre 1 (utilisant la fonction $\zeta _{1}$ ) est équivalent au codage gamma et produit exactement les mêmes codes.

Codage des entiers relatifs

Comme pour les codages gamma, delta et omega, il est possible de coder des entiers relatifs avec le codage zeta en utilisant une bijection pour transformer les nombres négatifs ou nul en nombres strictement positifs avant le codage à proprement parler. Après le décodage, l'opération inverse doit être effectuée pour retrouver les entiers relatifs d'origine.

Longueur du code

Partie en code binaire tronqué

Le nombre $N-(2^{k})^{h}$ codé en binaire tronqué nécessite un alphabet de taille $(2^{k})^{h+1}-(2^{k})^{h}=(2^{k}-1)\cdot 2^{kh}$ . Il peut être divisé en $2^{k}-1$ groupes de $2^{kh}$ symboles. Si $kh$ bits de poids faible sont nécessairement écrits, l'indice du premier groupe peut-être tronqué à $k-1$ bits de poids fort. Les $2^{k}-2$ indices suivants sont exprimés avec $k$ bits de poids fort.

Le nombre $N-(2^{k})^{h}$ appartient au premier groupe si :
${\frac {N-(2^{k})^{h}}{2^{kh}}}<1\;\Longleftrightarrow \;{\frac {N}{2^{kh}}}<2\;\Longleftrightarrow \;\log _{2}N-kh=r<1$ avec $r$ le reste de la division entière $\log _{2}N=kh+r$ .

Partie en code unaire

Le nombre $h$ est codé sur $h+1$ bits.

En récapitulatif, le nombre N est codé sur $L=(k+1)(h+1)-{\begin{cases}1&{\text{si }}r<1\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$ bits, avec $h$ et $r$ définis par la division entière $\log _{2}N=kh+r$ .

Exemples

Représentation des premiers entiers naturels strictement positifs avec un codage zeta
Décimal	Binaire	Code gamma	Code zeta k = 1	Code zeta k = 2	Code zeta k = 3	Code zeta k = 4
1	00001	1	1	10	100	1000
2	00010	010	010	110	1010	10010
3	00011	011	011	111	1011	10011
4	00100	00100	00100	01000	1100	10100
5	00101	00101	00101	01001	1101	10101
6	00110	00110	00110	01010	1110	10110
7	00111	00111	00111	01011	1111	10111
8	01000	00010000	0001000	011000	0100000	11000

Voir aussi

Bibliographie

Paolo Boldi, Sebastiano Vigna, « The WebGraph Framework II: Codes for the World-Wide Web », Proceedings of the Data Compression Conference, pp. 528, mars 2004.
Paolo Boldi, Sebastiano Vigna Codes for the World Wide Web Internet Mathematics Vol. 2, No. 4: 407-429

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