Codage binaire tronqué

Contrairement au codage binaire de taille fixe, le codage binaire tronqué utilise un code préfixe à longueur variable. La longueur de ce code est toujours inférieure ou égale à celle du code binaire optimal équivalent, qui est de ${\displaystyle \lceil \log _{2}N\rceil }$ où ${\displaystyle N}$ est la taille de l'alphabet à coder.

Pour un alphabet de taille ${\displaystyle N=2^{k}+b}$, le codage binaire tronqué sépare l'ensemble des valeurs à coder en deux groupes : les ${\displaystyle N-2b=2^{k}-b=2^{k+1}-N}$ premières valeurs d'une part, et les ${\displaystyle 2b}$ valeurs restantes d'autre part. Les premières valeurs sont codées sur ${\displaystyle k=\lfloor \log _{2}N\rfloor }$ bits, tandis que les secondes sont codées sur ${\displaystyle k+1=\lceil \log _{2}N\rceil }$ bits.

Les codes utilisés pour coder ces dernières valeurs sont les ${\displaystyle 2b}$ derniers codes de longueur ${\displaystyle k+1}$ ; il n'y a donc pas de continuité entre les valeurs codées sur ${\displaystyle k}$ bits et celles codées sur ${\displaystyle k+1}$ bits. C'est cette façon de coder qui fait du code binaire tronqué un code préfixe.

Dans le pire des cas, un code binaire tronqué est de la même longueur que le code binaire équivalent. Lorsque la taille de l'alphabet est une puissance de 2, ce pire cas est systématique, et les codes produits sont identiques. On peut ainsi voir le codage binaire comme un cas particulier de codage binaire tronqué, avec un alphabet dont la taille est une puissance de 2.

Dans tous les autres cas, le gain est de 1 bit pour chaque valeur parmi les ${\displaystyle 2^{\lceil \log _{2}N\rceil }-N}$ premières de l'alphabet, et il est nul pour toutes les autres valeurs.

Le gain global ${\displaystyle G}$ pour coder une source de longueur ${\displaystyle l}$ sur un alphabet ${\displaystyle A}$ de taille ${\displaystyle N}$ peut être exprimé par :

${\displaystyle G=l\times \sum _{i=0}^{N-1}p(A_{i})\delta _{i}}$

Où ${\displaystyle p(x)}$ est la probabilité d'apparition de la valeur ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\delta _{x}=1,x<2^{\lceil \log _{2}N\rceil }-N\\&\delta _{x}=0,x\geq 2^{\lceil \log _{2}N\rceil }-N\end{aligned}}\end{cases}}}$

Lorsque la distribution des valeurs est connue et non uniforme, il est intéressant de réorganiser l'alphabet pour que les valeurs ayant la plus forte probabilité d'apparition soient au début de celui-ci.

Le codage binaire tronqué est utilisé pour coder un alphabet dont la taille n'est pas une puissance de 2, lorsque la longueur du code est critique. Dans le cas général (lorsque la vitesse est plus importante que la longueur du code), le codage binaire est préféré car il est plus simple et plus rapide à manipuler (notamment car sa taille fixe permet un indiçage immédiat).

Le codage binaire tronqué est en particulier utilisé pour le codage de la position lors d'un codage de Golomb ou d'un codage zeta.

• Section "5.3.4.2: Codes phase-in" dans http://stevenpigeon.org/Publications/publications/phd.pdf : Steven Pigeon — Contributions à la compression de données — Thèse de doctorat, Université de Montréal, Déc 2001