Classification des algèbres de Clifford

Le cas complexe est particulièrement simple : chaque forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel complexe est équivalente à la forme diagonale standard

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}}$

où n = dim V, donc, il existe essentiellement une seule algèbre de Clifford dans chaque dimension. Nous noterons l'algèbre de Clifford sur ℂⁿ avec la forme quadratique standard par Cℓ_n(ℂ).

Il existe deux cas séparés à considérer, suivant que n est pair ou impair. Lorsque n est pair, l'algèbre Cℓ_n(ℂ) est centrale simple et donc, par le théorème d'Artin-Wedderburn est isomorphe à l'algèbre de matrice sur ℂ. Lorsque n est impair, le centre inclut non seulement les scalaires mais aussi les pseudoscalaires (éléments de degré n). Nous pouvons toujours trouver un pseudoscalaire normalisé ω tel que ω²=1. Définissons les opérateurs

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega )}$.

Ces deux opérateurs forment un ensemble complet d'éléments idempotents orthogonaux, et puisqu'ils sont centraux, ils donnent une décomposition de Cℓ_n(ℂ) en une somme directe de deux algèbres

${\displaystyle C\ell _{n}(\mathbb {C} )=C\ell _{n}^{+}(\mathbb {C} )\oplus C\ell _{n}^{-}(\mathbb {C} )}$ où ${\displaystyle C\ell _{n}^{\pm }(\mathbb {C} )=P_{\pm }C\ell _{n}(\mathbb {C} )}$.

Les algèbres Cℓ_n^±(ℂ) sont simplement les espaces propres positifs et négatifs de ω et les P_± sont simplement les opérateurs de projection. Puisque ω est impair, ces algèbres sont mélangées par ${\displaystyle \alpha \,}$ :

${\displaystyle \alpha (C\ell _{n}^{\pm }(\mathbb {C} ))=C\ell _{n}^{\mp }(\mathbb {C} )}$.

et par conséquent isomorphes (puisque ${\displaystyle \alpha \,}$ est un automorphisme). Ces deux algèbres isomorphes sont chacune simple centrale et donc, de nouveau, isomorphes à une algèbre de matrices sur ℂ. Les tailles de ces matrices peuvent être déterminées à partir du fait que la dimension de Cℓ_n(ℂ) est 2ⁿ. Ce que nous obtenons alors, c'est la table suivante :

n	${\displaystyle C\ell _{n}(\mathbb {C} )\,}$
2m	${\displaystyle \mathbb {C} (2^{m})\,}$
2m+1	${\displaystyle \mathbb {C} (2^{m})\oplus \mathbb {C} (2^{m})\,}$

La sous-algèbre paire de Cℓ_n^±(ℂ) est (non canoniquement) isomorphe à Cℓ_n-1^±(ℂ). Lorsque n est pair, les sous-algèbres paires peuvent être identifiées avec les matrices diagonales par blocs (lorsqu'elles sont séparées en blocs 2×2). Lorsque n est impair, les sous-algèbres paires sont ces éléments de ℂ(2^m)⊕ℂ(2^m) pour lesquels les deux facteurs sont identiques. En rassemblant l'une et l'autre pièce, cela donne un isomorphisme avec Cℓ_n-1(ℂ)≃ℂ(2^m).

Le cas réel est légèrement plus compliqué, exhibant une périodicité 8 plutôt que 2. Chaque forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel réel est équivalente à la forme diagonale standard :

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}}$

où n = p + q est la dimension de l'espace vectoriel. La paire d'entiers (p, q) est appelée la signature de la forme quadratique. L'espace vectoriel réel avec cette forme quadratique est souvent noté ℝ^p,q. L'algèbre de Clifford sur ℝ^p,q est notée Cℓ_p,q(ℝ).

Une base orthonormale standard {e_i} pour ℝ^p,q consiste en n = p + q vecteurs mutuellement orthogonaux, dont p de norme +1 et q de norme -1. L'algèbre Cℓ_p,q(ℝ) aura par conséquent p vecteurs dont le carré sera +1 et q vecteurs dont le carré sera -1. L'unité pseudoscalaire dans Cℓ_p,q(ℝ) est définie par

${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.}$

Le carré d' ${\displaystyle \omega \,}$ est donné par

${\displaystyle \omega ^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}(-1)^{q}=(-1)^{(p-q)(p-q-1)/2}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1\mod {4}\\-1&p-q\equiv 2,3\mod {4}.\end{cases}}}$

À noter, à la différence du cas complexe, qu'il n'est pas toujours possible de trouver un pseudoscalaire dont le carré est +1.

La classification s'ensuit : si n est paire (de manière équivalente, si p - q est pair) l'algèbre Cℓ_p,q(ℝ) est simple centrale et donc est isomorphe à une algèbre de matrices sur ℝ ou ℍ par le théorème d'Artin-Wedderburn. Si n (ou p - q) est impair, alors l'algèbre n'est pas simple centrale mais possède plutôt un centre qui inclut les pseudoscalaires aussi bien que les scalaires. Si n est impair et ω²=+1 alors, comme dans le cas complexe, l'algèbre Cℓ_p,q(ℝ) se décompose en une somme directe d'algèbres isomorphes

${\displaystyle C\ell _{p,q}(\mathbb {R} )=C\ell _{p,q}^{+}(\mathbb {R} )\oplus C\ell _{p,q}^{-}(\mathbb {R} ).}$

Chacune est simple centrale et donc isomorphe à l'algèbre de matrice sur ℝ ou ℍ. Si n est impair et ω²=+1 alors le centre de Cℓ_p,q(ℝ) est isomorphe à ℂ et peut être considéré comme une algèbre complexe. Comme une algèbre complexe, elle est simple centrale et donc isomorphe à une algèbre de matrice sur ℂ.

Tout indique qu'il existe trois propriétés qui déterminent la classe de l'algèbre Cℓ_p,q(ℝ) :

• n est pair/impair ;
• ω² = ±1 ;
• la classe de Brauer de l'algèbre (n pair) ou de la sous-algèbre paire (n impair) est ℝ ou ℍ.

Chacune de ces propriétés dépend seulement de la signature p - q modulo 8. La table de classification complète est donnée ci-dessous. La taille des matrices est déterminée par la condition que Cℓ_p,q(ℝ) ont une dimension 2^p+q.

p - q mod 8	${\displaystyle \omega ^{2}\,}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}\,}$ (p+q = 2m)	p - q mod 8	${\displaystyle \omega ^{2}\,}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}\,}$ (p+q = 2m + 1)
0	+	${\displaystyle \mathbb {R} (2^{m})\,}$	1	+	${\displaystyle \mathbb {R} (2^{m})\oplus \mathbb {R} (2^{m})\,}$
2	-	${\displaystyle \mathbb {R} (2^{m})\,}$	3	-	${\displaystyle \mathbb {C} (2^{m})\,}$
4	+	${\displaystyle \mathbb {H} (2^{m-1})\,}$	5	+	${\displaystyle \mathbb {H} (2^{m-1})\oplus \mathbb {H} (2^{m-1})\,}$
6	−	${\displaystyle \mathbb {H} (2^{m-1})\,}$	7	−	${\displaystyle \mathbb {C} (2^{m})\,}$

Ce qui suit est une table de cette classification pour p + q ≤ 8. Ici p + q est placé verticalement et p - q horizontalement (par ex. l'algèbre Cℓ_1,3(ℝ)≃ℍ(2) est trouvée ligne 4, colonne - 2).

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

0

${\displaystyle \mathbb {R} \,}$

1

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,}$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

2

${\displaystyle \mathbb {R} (2)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (2)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} \,}$

3

${\displaystyle \mathbb {C} (2)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,}$

${\displaystyle \mathbb {C} (2)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\,}$

4

${\displaystyle \mathbb {H} (2)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (2)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (2)\,}$

5

${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}(2)\,}$

${\displaystyle \mathbb {C} (4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}(4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {C} (4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}(2)\,}$

${\displaystyle \mathbb {C} (4)\,}$

6

${\displaystyle \mathbb {H} (4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (8)\,}$

7

${\displaystyle \mathbb {C} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}(4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {C} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}(8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {C} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}(4)\,}$

${\displaystyle \mathbb {C} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}(8)\,}$

8

${\displaystyle \mathbb {R} (16)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (16)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (16)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {H} (8)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (16)\,}$

${\displaystyle \mathbb {R} (16)\,}$

${\displaystyle \omega ^{2}\,}$

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

-

+

+

Il existe une toile embrouillée de symétrie et de relations dans la table ci-dessus. Par exemple, la table entière est symétrique par rapport à la colonne 1 (aussi bien que la colonne 5, -3 et -7). Se déplacer sur 4 emplacements dans n'importe quelle ligne donne une algèbre identique.

Représentation des algèbres de Clifford

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Classification of Clifford algebras » (voir la liste des auteurs).