Classe de Donsker

Une classe de Donsker est une classe de fonctions mesurables qui vérifie la propriété de la convergence en loi du processus empirique indexé par cette classe de fonctions vers le pont brownien indexé lui-aussi par cette classe de fonction. Il s'agit d'une généralisation au théorème de Donsker.

Définitions

Soient des variables aléatoires $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} ^{*}}$ i.i.d. définies sur un espace de probabilité $(\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )$ à valeurs dans un espace mesurable $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ et ${\mathcal {F}}$ une classe de fonctions mesurables de $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ à valeurs réelles. On dit que ${\mathcal {F}}$ est une classe de Donsker si elle vérifie la propriété

\alpha _{n}{\underset {n\to +\infty }{\overset {\mathcal {L}}{\longrightarrow }}}\mathbb {G} \qquad {\text{ dans }}\ell ^{\infty }({\mathcal {F}})

avec $\alpha _{n}$ le processus empirique indexé par la classe de fonctions ${\mathcal {F}}$ et $\mathbb {G}$ le pont brownien indexé par ${\mathcal {F}}$ , i.e. le processus gaussien centré dont la fonction de covariance est donnée par

\forall f,g\in {\mathcal {F}},\quad {\text{Cov}}(\mathbb {G} (f),\mathbb {G} (g))=\mathbb {E} [f(X)g(X)]-\mathbb {E} [f(X)]\mathbb {E} [g(X)].

Puisqu'une classe de Donsker ${\mathcal {F}}$ dépend de la mesure $P=\mathbb {P} ^{X}$ la loi des $X_{i}$ , on peut dire en cas d'éventuelle confusion sur la loi que ${\mathcal {F}}$ est une classe de $P$ -Donsker.

En particulier, le théorème de Donsker revient à dire que la classe des fonctions indicatrices ${\mathcal {F}}=\{x\mapsto \mathbf {1} _{\{x\leq t\}}:t\in \mathbb {R} \}$ est une classe de Donsker. Ce théorème dit donc que le processus empirique converge en loi vers un pont brownien.

Conditions suffisantes

Les conditions suffisantes évoquées dans cette partie[1] impliquent implicitement la continuité du processus limite d'après le théorème de Dudley[2].

Condition avec l'entropie avec crochet

Soit ${\mathcal {F}}$ une classe de fonctions mesurables vérifiant

\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {H_{[\ ]}({\mathcal {F}},\varepsilon ,L_{2}(P))}}\mathrm {d} \varepsilon <+\infty ,

où $H_{[\ ]}({\mathcal {F}},\varepsilon ,d)$ est le logarithme de $N({\mathcal {F}},\varepsilon ,d)$ , le nombre de recouvrements avec crochets de ${\mathcal {F}}$ de rayon $\varepsilon$ et avec la distance $d$ . Alors ${\mathcal {F}}$ est une classe de Donsker

Condition avec l'entropie

On note $H({\mathcal {F}},\varepsilon ,d)$ le logarithme de $N({\mathcal {F}},\varepsilon ,d)$ du nombre de recouvrement de ${\mathcal {F}}$ de rayon $\varepsilon$ et avec la distance $d$ . Supposons que ${\mathcal {F}}$ est une classe de fonctions satisfaisant les conditions

$\int _{0}^{+\infty }\sup _{Q}{\sqrt {H({\mathcal {F}},\varepsilon ||F||_{Q,2},L_{2}(P))}}\mathrm {d} \varepsilon$ , où $F$ est une enveloppe de ${\mathcal {F}}$ et le supremum est pris sur l'ensemble des mesures de probabilité discrètes de $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ telles que $||F||_{Q,2}^{2}=\int F^{2}\mathrm {d} Q>0$ ;
Les classes ${\mathcal {F}}_{\varepsilon }:=\{f-g:f,g\in {\mathcal {F}},||f-g||_{P,2}<\varepsilon \}$ et ${\mathcal {F}}_{\infty }^{2}$ sont $P$ -mesurables pour tout $\varepsilon >0$ ;
$PF^{2}<+\infty$ avec $F$ une enveloppe de ${\mathcal {F}}$ .

Alors ${\mathcal {F}}$ est $P$ -Donsker.

La première condition est généralement appelée « condition d'entropie uniforme ».

Condition avec les deux entropies

Soit ${\mathcal {F}}$ une classe de fonctions mesurables vérifiant

\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N_{[\ ]}({\mathcal {F}},\varepsilon ,L_{2,\infty }(P))}}\mathrm {d} \varepsilon +\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N({\mathcal {F}},\varepsilon ,L_{2}(P))}}\mathrm {d} \varepsilon <+\infty .

De plus, on suppose que ${\mathcal {F}}$ possède une enveloppe $F$ admettant un moment de second ordre faible (i.e. $P(F>x)=o(x^{-2}),x\to \infty$ ). Alors ${\mathcal {F}}$ est une classe de $P$ -Donsker.

Références

(en) Aad W. Van Der Vaart et Jon. A. Wellner, Weak convergence and empirical processes with applications to statistics, Springer, p. 127
(en) Michel Ledoux et Michel Talagrand, Probability in Banach spaces, Springer, p. 321

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