Catégorie des espaces topologiques pointés

La catégorie Top_{${\displaystyle \bullet }$} est définie par ses objets et par ses flèches :

• un objet de Top_{${\displaystyle \bullet }$} est un espace pointé, c'est-à-dire un couple ${\displaystyle (X,x)}$ constitué d'un espace topologique ${\displaystyle X}$ et d'un point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ ;
• une flèche ${\displaystyle u}$ de l'objet ${\displaystyle (X,x)}$ dans l'objet ${\displaystyle (Y,y)}$ est une application continue de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$, envoyant ${\displaystyle x}$ sur ${\displaystyle y}$. Par abus de notation, cette application est encore notée ${\displaystyle u}$.

Le groupe fondamental ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ d'un espace pointé ${\displaystyle (X,x)}$ est l'ensemble des classes d'homotopie de lacets de base ${\displaystyle x}$, muni de la composition des (classes d'homotopie de) lacets.

Tout morphisme d'espaces pointés induit un morphisme des groupes fondamentaux associés, ce qui fait de ${\displaystyle \pi _{1}}$ un foncteur de la catégorie des espaces pointés dans celle des groupes[1].