Calcul mental. Dans l'école populaire de S. A. Ratchinski

Le tableau représente une école construite en bois, de la fin du XIX^e siècle, durant la classe d'arithmétique, au moment de la résolution possible ou probable d'un problème. L'instituteur est un personnage réel, qui s'appelait Sergueï Alexandrovitch Ratchinski (ru) (1833-1902), botaniste et mathématicien, professeur à l'Université d'État de Moscou. Sous l'influence du mouvement populiste Narodniki, S. Ratchinski retourna dans son village natal de Tatevo dans l'Oblast de Tver en 1872 et il y créa une école avec dortoir pour les enfants de paysans. Il y développa une méthode unique d'enseignement du calcul mental inculquant aux enfants de ce village les principes fondamentaux de la pensée mathématique. Bogdanov-Belski y a consacré ce tableau pour avoir été lui-même élève de Ratchinski et traduire l'atmosphère créative qui y régnait.

Au tableau est inscrit un calcul que les élèves doivent absolument parvenir à résoudre :

${\displaystyle {\frac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}}$

Les données écrites au tableau ont une propriété intéressante :

${\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}=10^{2}+(10+1)^{2}+(10+2)^{2}+(10+3)^{2}+(10+4)^{2}}$

${\displaystyle =10^{2}+(10^{2}+2\cdot 10\cdot 1+1^{2})+(10^{2}+2\cdot 10\cdot 2+2^{2})+(10^{2}+2\cdot 10\cdot 3+3^{2})+(10^{2}+2\cdot 10\cdot 4+4^{2})}$

${\displaystyle =5\cdot 100+2\cdot 10\cdot (1+2+3+4)+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=500+200+30=730=2\cdot 365}$

Autrement dit le résultat est égal à 2.

Une autre option est la suivante:

${\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}=(12-2)^{2}+(12-1)^{2}+12^{2}+(12+1)^{2}+(12+2)^{2}}$

${\displaystyle =(12^{2}-2\cdot 12\cdot 2+2^{2})+(12^{2}-2\cdot 12\cdot 1+1^{2})+12^{2}+(12^{2}+2\cdot 12\cdot 2+2^{2})+(12^{2}+2\cdot 12\cdot 1+1^{2})}$

${\displaystyle =12^{2}+2^{2}+12^{2}+1^{2}+12^{2}+12^{2}+1^{2}+12^{2}+2^{2}=5\cdot 12^{2}+4+1+1+4=720+10=2\cdot 365}$

Ou simplement:

${\displaystyle {\frac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}\quad =\quad {\frac {100+121+144}{365}}+{\frac {169+196}{365}}\quad =\quad {\frac {365}{365}}+{\frac {365}{365}}\quad =\quad 2.}$

• 11 élèves, dont 7 ont leur visage tourné vers les spectateurs les 4 autres ne montrant que leur nuque. Trois d'entre eux ont des lapti aux pieds.
• S. А. Ratchinski est assis au milieu des élèves.
• Un image avec une "Vierge à l'enfant" est accrochée au mur, dans un cadre.
• Une affiche, avec une gamme musicale, se trouve sur le mur à côté du tableau.
• L'écriture sur le tableau est de craie ou d'ardoise.
• Les murs de l'école sont en rondins taillés.
• Le tableau noir se trouve devant l'imposant poêle russe blanc, au coin de la pièce afin d'accentuer le contraste des couleurs.
• Signature de Nikolaï Bogdanov-Belski «Богданов-Бельский 1895 г.»

Bogdanov-Belski a abordé le thème de l'école rurale dans d'autres tableaux.

• 
  À la porte de l'école, 1897
• 
  Lecture du dimanche dans une école rurale, 1895
• 
  Entre deux leçons, 1903

• Фаермарк, Давид Самсонович (Faermark D. S.), Задача пришла с картины : (О картине Богданов-Бельский, Николай Петрович, М., Наука (издательство) ( Sciences),‎ 1974, 160, [4] (обл.)
• Государственная Третьяковская галерея. Искусство XII — начала XX века (Galerie Trétiakov), М., СканРус,‎ 2007, p. 194
• (ru)Решение примера (УСТНЫЙ СЧЕТ./«Наука и жизнь», № 7, 2006 год)(La résolution du problème)
• (ru)4 способа решения задачи Рачинского (différentes résolutions du problème de Ratchinski)
• (ru)Последовательности Рачинского(résolution du problème)
• (ru) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en russe intitulé « Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского » (voir la liste des auteurs).