Calcul du déterminant d'une matrice

Le déterminant est une forme n-linéaire alternée des vecteurs colonnes ou des vecteurs lignes. Cette propriété a les conséquences suivantes :

• si l'on permute deux lignes ou deux colonnes, le déterminant change de signe ;
• si deux lignes ou deux colonnes sont identiques, le déterminant est nul ;
• on peut ajouter à une colonne (ou une ligne) un multiple d'une autre colonne (ou d'une autre ligne) sans changer la valeur du déterminant ;
• si l'on multiplie tous les termes d'une même ligne ou d'une même colonne par un réel k, le déterminant est multiplié par k ;
• en conséquence, si une ligne ou une colonne est nulle, le déterminant est nul.

Enfin, le déterminant se comporte bien avec le produit des matrices :

${\displaystyle \det(A\times B)=\det(A)\times \det(B)}$.

• Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux :${\displaystyle {\begin{vmatrix}m_{1;1}&m_{1;2}&\cdots &m_{1;n-1}&m_{1;n}\\0&m_{2;2}&\cdots &\cdots &m_{2;n}\\\vdots &0&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &m_{n-1;n-1}&m_{n-1;n}\\0&0&\cdots &0&m_{n;n}\end{vmatrix}}=\prod _{i=1}^{i=n}{m_{i;i}}}$.On peut le démontrer par récurrence : il suffit d'appliquer la formule de Laplace à la première colonne pour se ramener d'une matrice de taille n à une matrice de taille n – 1.
• Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux :${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}}=\det A\det C}$où${\displaystyle A\in M_{p},B\in M_{p,n-p},C\in M_{n-p},0\in M_{n-p,p}}$.

Deux démonstrations[5]

Démonstration par développements successifs

On commence par simplifier la situation en utilisant le produit par blocs suivant

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\0&C\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}A&B\\0&I\end{pmatrix}}.}$

Il suffit ensuite de prouver que la première matrice a pour déterminant det C, la seconde det A. Mais pour cela on reprend la méthode de démonstration utilisée pour les matrices triangulaires. Ainsi pour la première matrice, on effectue des développements successifs par rapport aux premières lignes, qui sont les plus simples : il ne reste plus que le déterminant de C. Pour la deuxième matrice, on suit une méthode analogue avec les dernières lignes.

Démonstration par la formule de Leibniz

Notons ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}}.}$

Alors ${\displaystyle \det(M)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\epsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}m_{\sigma (j),j}.}$

Or pour qu'un produit ${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}m_{\sigma (j),j}}$ soit non nul, il faut que ${\displaystyle \{1,\ldots ,p\}}$ soit stable par ${\displaystyle \sigma }$ et comme ${\displaystyle \sigma }$ est une bijection de ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ dans lui-même, l'ensemble ${\displaystyle \{p+1,\ldots ,n\}}$ est alors aussi stable. Donc

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(M)&=\sum _{\alpha \in {\mathfrak {S}}_{p}}\sum _{\gamma \in {\mathfrak {S}}_{n-p}}\epsilon (\alpha )\epsilon (\gamma )\prod _{j=1}^{p}m_{\alpha (j),j}\prod _{j=1}^{n-p}m_{p+\gamma (j),p+j}\\\ &={\Biggl (}\sum _{\alpha \in {\mathfrak {S}}_{p}}\epsilon (\alpha )\prod _{j=1}^{p}a_{\alpha (j),j}{\Biggr )}{\Biggl (}\sum _{\gamma \in {\mathfrak {S}}_{n-p}}\epsilon (\gamma )\prod _{j=1}^{n-p}c_{\gamma (j),j}{\Biggr )}\\\ &=\det(A)\det(C).\end{aligned}}}$

Cette méthode consiste à remplacer la matrice par une matrice triangulaire en utilisant seulement des permutations de lignes ou colonnes et des ajouts à une ligne d'un multiple d'une autre ligne de manière à faire apparaitre un maximum de zéros.

Le principe est le suivant :

• on choisit dans la matrice un terme non nul ${\displaystyle a_{i,j}}$, en général le premier terme en haut à gauche, que l'on appelle le pivot ;
• si le terme choisi n'est pas ${\displaystyle a_{1,1}}$, on peut, en permutant les lignes 1 et i et les colonnes 1 et j, le mettre à la bonne position. On obtient alors une matrice A' telle que ${\displaystyle \det(A)=(-1)^{i+j}\det(A')}$ ;
• on élimine tous les termes situés sous le pivot, ${\displaystyle a_{1,1}}$ en ajoutant à la ligne k la ligne 1 multipliée par ${\displaystyle -{\frac {a_{k,1}}{a_{1,1}}}}$. Cette opération ne change pas la valeur du déterminant ;
• on recommence ensuite le même processus dans la sous-matrice privée de sa première ligne et de sa première colonne ;
• on obtient alors à la dernière étape une matrice triangulaire dont le déterminant est égal, au signe près, au déterminant de la matrice de départ.

Ainsi, dans la matrice ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{pmatrix}}}$, on peut choisir –2 comme premier pivot et ajouter ainsi à la seconde ligne, la première multipliée par –1/2 et ajouter à la troisième ligne la première ligne :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&2&-3\\0&0&9/2\\0&2&-4\end{vmatrix}}}$.

En choisissant 2 comme second pivot et en permutant les lignes 2 et 3, ce qui conduit à multiplier par –1 le déterminant, on obtient directement une matrice triangulaire.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{vmatrix}}=(-1)^{1}{\begin{vmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&9/2\end{vmatrix}}=18}$.

Le déterminant de Vandermonde est le déterminant d'une matrice dans laquelle chaque ligne est composée des premières puissances d'un même nombre. Si les coefficients sont dans un corps (ou un anneau intègre), ce déterminant s'annule si et seulement si deux lignes sont identiques.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&a_{1}&{a_{1}}^{2}&\dots &{a_{1}}^{n-1}\\1&a_{2}&{a_{2}}^{2}&\dots &{a_{2}}^{n-1}\\1&a_{3}&{a_{3}}^{2}&\dots &{a_{3}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&a_{n}&{a_{n}}^{2}&\dots &{a_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(a_{j}-a_{i})}$

Un déterminant circulant droit[6] est le déterminant d'une matrice dont les lignes sont obtenues par permutations circulaires des éléments de la première ligne. Supposons donnée la famille ${\displaystyle \alpha =(a_{i})_{i=1\cdots n}}$ de complexes :

${\displaystyle {\det }_{\alpha }={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\dots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n-1}\\a_{n-1}&a_{n}&a_{1}&\dots &a_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&a_{4}&\dots &a_{1}\end{vmatrix}}}$.

Soit ${\displaystyle P_{\alpha }}$ le polynôme dont les coefficients sont donnés par la famille ${\displaystyle \alpha }$ :

${\displaystyle P_{\alpha }(X)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{i-1}}$

et soit ${\displaystyle u_{n}}$ la première racine n-ième de l'unité :

${\displaystyle u_{n}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2\pi }{n}}}}$.

Le déterminant circulant s'exprime à l'aide de ${\displaystyle P_{\alpha }}$ et ${\displaystyle u_{n}}$ de la manière suivante :

${\displaystyle {\det }_{\alpha }=\prod _{k=1}^{n}P_{\alpha }\left({u_{n}}^{k}\right)}$.

Une matrice tridiagonale est une matrice à trous contenant des zéros sauf éventuellement sur la première diagonale ainsi que les deux sous-diagonales limitrophes supérieure et inférieure.

Le déterminant d'une telle matrice se calcule par récurrence à l'aide des sous-matrices tridiagonales ${\displaystyle A_{k}}$ obtenues en ne conservant que les k premières lignes et les k premières colonnes. Si l'on appelle A la matrice définie par :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&0&\dots &&&0\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\ddots &&&\vdots \\0&a_{3,2}&a_{3,3}&\ddots &\ddots &&\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\vdots &&&\ddots &\ddots &a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\0&\dots &&\dots &0&a_{n,n-1}&a_{n,n}\end{pmatrix}}}$,

on peut développer le déterminant par récurrence en :

${\displaystyle \det(A)=a_{n,n}\det(A_{n-1})-a_{n,n-1}a_{n-1,n}\det(A_{n-2})}$.

Une matrice de Hessenberg est une matrice quasi-triangulaire. Dans une matrice de Hessenberg supérieure, tous les termes situés sous la diagonale sont nuls sauf éventuellement ceux situés sur la première sous-diagonale. À ce titre, une matrice tridiagonale est une matrice de Hessenberg à la fois supérieure et inférieure. Le déterminant d'une matrice de Hessenberg inférieure se calcule par récurrence selon une technique voisine de celle utilisée pour le calcul du déterminant tridiagonal. En appelant ${\displaystyle A_{k}}$ les sous-matrices de Hessenberg obtenues en ne conservant que les k premières lignes et les k premières colonnes, on a[7] :

${\displaystyle \det(A)=a_{n,n}\det(A_{n-1})+\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{n-k}\left(\prod _{i=k+1}^{n}a_{i,i-1}\right)a_{k,n}\det(A_{k-1})}$.

Soient P et Q deux polynômes de degrés respectifs n et m tels que :

${\displaystyle P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\quad {\text{et}}\quad Q=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}}$.

On appelle déterminant de Sylvester ou résultant des polynômes P et Q le déterminant de la matrice de Sylvester de dimension n + m :

${\displaystyle R(P,Q)={\begin{vmatrix}a_{n}&0&\cdots &\cdots &0&b_{m}&0&\cdots &0\\a_{n-1}&a_{n}&\ddots &&\vdots &\vdots &b_{m}&\ddots &\vdots \\\vdots &a_{n-1}&\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots &&&b_{m}\\a_{0}&\vdots &&\ddots &a_{n}&b_{1}&&&\vdots \\0&a_{0}&&&a_{n-1}&b_{0}&\ddots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &&\vdots &0&\ddots &b_{1}&\vdots \\\vdots &&\ddots &a_{0}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{0}&b_{1}\\0&\cdots &\cdots &0&a_{0}&0&\cdots &0&b_{0}\\\end{vmatrix}}}$.

Si l'on se place dans un corps dans lequel les deux polynômes sont scindés, c'est-à-dire qu'ils se décomposent en produit de polynômes du premier degré :

${\displaystyle P=a_{n}\prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})\quad {\text{et}}\quad Q=b_{m}\prod _{j=1}^{m}(X-\beta _{j})}$,

on a :

${\displaystyle R(P,Q)={a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\prod _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})}$.

Soient ${\displaystyle \alpha =(a_{i})_{i=1\cdots n}}$ et ${\displaystyle \beta =(b_{j})_{j=1\cdots n}}$ deux familles de complexes tels que, pour tout i et j, ${\displaystyle a_{i}+b_{j}\neq 0}$, le déterminant de Cauchy associé à ces deux familles est le déterminant de la matrice de terme général ${\displaystyle {\frac {1}{a_{i}+b_{j}}}}$.

Il a pour expression

${\displaystyle {\det }_{\alpha ,\beta }={\frac {\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})\prod \limits _{i<j}(b_{j}-b_{i})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}}$.

En particulier, si ${\displaystyle \alpha =(1,2,\dots ,n)}$ et ${\displaystyle \beta =(0,1,\dots ,n-1)}$, le déterminant obtenu est le déterminant de Hilbert dont il existe la formule explicite suivante[8] :

${\displaystyle D_{n}={\frac {(n-1)!!^{4}}{(2n-1)!!}}}$

avec la notation :

${\displaystyle N!!=\prod _{i=1}^{N}i!}$.

(en) W. M. Gentleman et S. C. Johnson, « Analysis of Algorithms, A Case Study : Determinants of Matrices With Polynomial Entries », ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 2, n^o 3,‎ septembre 1976, p. 232–241 (lire en ligne [PDF])

• (en) Online Matrix Calculator, sur le site bluebit.gr
• (en) Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose), sur le site elektro-energetika.cz