Attracteur de Rössler

L'attracteur de Rössler est l'attracteur produit par un système dynamique constitué de trois équations différentielles ordinaires contenant un terme non linéaire introduit en 1976 par Otto E. Rössler[1]. Pour certaines valeurs des paramètres, ces équations différentielles produisent un attracteur chaotique. C'est un exemple d'attracteur étrange (selon l'appellation de David Ruelle[2] ) et qui présente des propriétés fractales.

L'attracteur de Rössler

Historique

Otto Rössler a initialement obtenu un système dynamique produisant un attracteur chaotique à partir d'une réaction chimique théorique[3]. En cherchant à simplifier le système initial sur son ordinateur analogique, il a fini par obtenir un système mathématiquement plus simple, n'ayant plus aucun lien avec une possible réaction chimique, mais produisant un attracteur ayant la même topologie. À l'invitation d'Art Winfree, Rössler cherchait un équivalent chimique du système de Lorenz[4]. L'historique de la découverte de cet attracteur a été établi[5]. L'attracteur de Rössler est plus simple à analyser que l'attracteur de Lorenz (doté d'une symétrie de rotation) car il ne présente aucune symétrie.

Le système de Rössler

Les équations du système de Rössler sont

{\dot {x}}(t)=-y(t)-z(t)

{\dot {y}}(t)=x(t)+ay(t)

{\dot {z}}(t)=b+z(t)(x(t)-c)

où $x$ , $y$ et $z$ sont les variables, définissant l'espace des états (ou l'espace des phases) et $a$ , $b$ et $c$ sont les paramètres (maintenus constant lors d'une intégration). Rössler étudia l'attracteur pour $a = 0,2$ , $b = 0,2$ , et $c = 5,7$ . Une étude complète de la nature (topologie) des solutions de ce système a été réalisée pour $a\in [0,126;0.556]$ , $b=2$ et $c=4$ [6]. Lorsque le paramètre $a$ est augmenté, la solution du système devient chaotique après une cascade de doublements de période, c'est-à-dire une succession d'orbites périodiques dont les périodes sont $2^{0}=1$ , $2^{1}=2$ , $2^{2}=4$ , $2^{3}=8$ , ..., $2^{\infty }$ . Une fois la période infinie atteinte ( $a\approx 0,386$ ), l'attracteur devient chaotique. Si la valeur de $a$ est encore augmentée, l'attracteur chaotique se développe ; toutefois, pour certaines plages des valeurs de $a$ , l'attracteur peut redevenir périodique : c'est une fenêtre périodique.

Diagramme de bifurcation du système de Rössler calculé pour

b=2

c=4

. Le diagramme commence par une cascade de doublements de période. Des fenêtres périodiques peuvent être observées pour certains intervalle du paramètre

a

. Par exemple, il y a une fenêtre de période 3 pour

a\approx 0,41

Le système est aussi fréquemment utilisés pour les valeurs des paramètres $a = 0,1$ , $b = 0,1$ , et $c = 14$ . Une étude complète en lien avec les orbites homoclines a été récemment réalisée[7].

Propriétés

Certaines propriétés du système de Rössler sont déduites par des méthodes linéaires et des vecteurs propres, mais les caractéristiques principales de ce système requiert des méthodes non linéaires comme les sections de Poincaré ou les diagrammes de bifurcations.

Une orbite dans l'attracteur suit une spirale proche du plan $(x, y)$ autour d'un point fixe instable. S'éloignant progressivement de ce point fixe, un second point fixe provoque une élévation de cette orbite et une redescente vers le plan $(x, y)$ proche du premier point fixe, réintégrant l'orbite dans la spirale.

Bien que les valeurs des différentes variables soient bornées, il est apparent que ces oscillations sont chaotiques.

L'attracteur possède une structure fractale en mille-feuille, dont la dimension fractale a été estimée entre 2,01 et 2,02, donc très proche d'une surface plane.

Vue depuis le plan $(x, y)$

L'un des intérêts de l'attracteur de Rössler est le caractère linéaire de deux de ses équations. En imposant $z = 0$ , on peut mener l'examen de sa projection dans le plan $(x, y)$ :

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)=-y(t)

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t)=x(t)+ay(t)

Points fixes

Pour trouver les points fixes, les trois équations de Rössler sont posées égales à zéro. Le système est alors résolu et donne le résultat :

x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}

y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}

Ce qui, maintenant, peut être utilisé pour présenter les points fixes pour des valeurs données de paramètres :

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

Comme cité plus haut, l'un des points, instable, est situé au centre de la spirale et l'autre se situe hors de l'attracteur.

Régimes périodiques et chaotiques

Posant $a = 0,1$ et $b = 0,1$ et en faisant varier le paramètre $c$ , le système passe successivement par divers régimes périodiques ou chaotiques :

$c = 4$ ⇒ période 1
$c = 6$ ⇒ période 2
$c = 8,5$ ⇒ période 4
$c = 9$ ⇒ chaotique
$c = 12$ ⇒ période 3
$c = 12,6$ ⇒ période 6
$c = 13$ ⇒ chaotique
$c = 18$ ⇒ chaotique

Bibliographie

E. N. Lorenz, « Deterministic nonperiodic flow », J. Atmos. Sci., vol. 20,‎ 1963, p. 130–141 (DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2)
O. E. Rössler, « An Equation for Continuous Chaos », Physics Letters, vol. 57A, n^o 5,‎ 1976, p. 397–398
O. E. Rössler, « An Equation for Hyperchaos », Physics Letters, vol. 71A, n^os 2,3,‎ 1979, p. 155–157
(en) Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus publishing, 1994

Références

(en) Otto E. Rössler, « An equation for continuous chaos », Physics Letters A,‎ 1976, vol. 31, pp. 259-264 (lire en ligne )
(en) David Ruelle et Floris Takens, « On the nature of turbulence », Communications in Mathematical Physics,‎ 1971, vol. 20, pp. 167-192 (lire en ligne)
(en) Otto E. Rössler, « Chaotic behavior in simple reaction system », Zeitschrift für Naturforschung A,‎ 1976, vol. 31, pp. 259-264 (lire en ligne)
(en) Edward N. Lorenz, « Deterministic nonperiodic flow », Journal of the Atmospheric Sciences,‎ 1963, vol. 20, pp. 130-141 (lire en ligne)
Christophe Letellier & Valérie Messager, « Influences on Otto E. Rössler's earliest paper on chaos », International Journal of Bifurcation & Chaos,‎ 2010, vol. 20, pp. 3585-3616 (lire en ligne )
(en) Christophe Letellier, Pascal Dutertre & Bruno Maheu, « Unstable periodic orbits and templates of the Rössler system: Toward a systematic topological characterization », Chaos,‎ 1995, vol. 5, pp. 271-282 (lire en ligne )
Semyon Malykh, Yuliya Bakhanova, Alexey Kazakov, Krishna Pusuluri & Andrey Shilnikov, « Homoclinic chaos in the Rössler model », Chaos,‎ 2020, vol. 30, art. n° 113126 (lire en ligne )

Voir aussi

Liens externes

Animation Flash avec PovRay
Attracteurs de Rössler et de Lorenz - animation java
Attracteur de Rössler - Expérience numérique interactive en javascript/webgl (site : experiences.math.cnrs.fr)
Topologie de l'attracteur de Rössler

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