Attracteur d'Ikeda

L'attracteur d'Ikeda est un système dynamique à temps discret, caractérisé par la relation de récurrence :

z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}

Attracteur d'Ikeda.

Il a été proposé en 1979 par le physicien japonais Kensuke Ikeda pour décrire la propagation de la lumière à travers une cavité optique non linéaire[1].

La relation de récurrence est souvent utilisée sous la forme[2] :

{\begin{cases}x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos \theta _{n}-y_{n}\sin \theta _{n})\\y_{n+1}=u(x_{n}\sin \theta _{n}+y_{n}\cos \theta _{n})\end{cases}}

où $u\in \mathbb {R}$ est un paramètre et $\theta _{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}$ .

Lorsque $u\geqslant 0.6$ , le système a un comportement chaotique.

Trajectoires

Les graphes ci-dessous représentent la trajectoire de 200 points, pour différentes valeurs du paramètre $u$ . Le graphe de gauche permet de visualiser l'attracteur et le point fixe, tandis que celui de droite est un zoom dans la région de l'attracteur et du point fixe.

u = 0.1	u = 0.5	u = 0.65
u = 0.7	u = 0.8	u = 0.85
u = 0.9	u = 0.908	u = 0.92

Références

(en) Kensuke Ikeda, « Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system », Optics Communications (en),‎ août 1979, p. 257-261 (lire en ligne)
Meriem Halimi, Observation et détection de modes pour la synchronisation des systèmes chaotiques : une approche unifiée (Thèse de doctorat), décembre 2013, 112 p. (lire en ligne), p. 10-11

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