Associateur

Dans une algèbre ou un anneau non nécessairement associative, l'associateur de trois éléments x, y et z, noté A(x,y,z) est défini par ${\displaystyle A(x,y,z)=x(yz)-(xy)z\,}$.
Il est parfois noté aussi ${\displaystyle [x,y,z]\,}$ s'il n'y a pas de risque de confusion avec un produit mixte.
L'associativité est exprimée par la nullité de la fonction A sur tous les triplets.
L'alternativité est exprimée par l'égalité ${\displaystyle A(x,x,y)=A(y,x,x)=0\,}$ pour tout couple d'éléments (x,y).

L'associateur est un opérateur trilinéaire.

L'associateur permet de définir le noyau de la structure, à savoir l'ensemble des x tels que pour y et z quelconques, on a ${\displaystyle A(x,y,z)=A(y,x,z)=A(y,z,x)=0}$.

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