Argument de l'Apocalypse

L'argument de l'Apocalypse (en anglais : « The Doomsday Argument »), créé en 1983, est attribué à l'astrophysicien Brandon Carter. On raconte qu’il fut tellement surpris par sa propre énigme qu’il a renoncé au dernier moment à la présenter en public lors d’une conférence. Le philosophe canadien John A. Leslie étudie cette énigme, la rendant populaire dans les années 1990 et publie un ouvrage à son sujet[2]. D’après lui, toutes les réfutations (plusieurs milliers affirment certains) qu’il avait pu voir étaient infondées[2].

Le problème peut s'exprimer de manière informelle comme suit :

Soit N le nombre d'individus qui sont nés ou naitront au total dans toute l'histoire de l'humanité.

En prenant un individu au hasard parmi ces individus, il y a 95 % de probabilité que cet individu fasse partie des 95 % « derniers » individus à être né un jour (dans le passé ou le futur). Si l'on prend maintenant comme individu au hasard un individu n contemporain, né aujourd'hui, alors le même raisonnement s'applique si l'on suppose l'équiprobabilité : il y a 95 % de probabilité que cet individu fasse partie des 95 % « derniers » individus.

Compte tenu du fait :

• Qu'on estime à 60 milliards le nombre d'individus à être nés dans l'histoire de l'humanité jusqu'à la naissance de n.
• Qu'il y a 95 % de probabilité que l'individu n fasse partie des 95 % (= 19/20) derniers humains, ou autrement dit qu'il ne fasse pas partie des 5 % (=1/20) premiers.

Cela permet de déduire qu'il y a 95 % de probabilité que le nombre d'individus N soit au maximum de 60×20=1 200 milliards.

Partant de cette information, on peut tenter une extrapolation de la durée de « survie » de l'humanité en fonction des estimations d'évolution de la population du monde, qui peuvent varier selon les sources, mais en supposant une évolution de la population stabilisée à 10 milliards et une espérance de vie moyenne de 80 ans, on arrive à environ 9 120 ans, avant d'atteindre 1 200 milliards d'individus cumulés.

La conclusion finale est donc qu'il y a 95 % de probabilité d'une extinction de l'humanité avant 9 120 ans dans le futur.

L'argument de l'Apocalypse est quelquefois aussi présenté comme une énigme dont l'étude peut utiliser le théorème de Bayes.

Soit deux hypothèses en concurrence : la théorie A affirme que l’humanité disparaitra en 2150, et la théorie B affirme que cela sera beaucoup plus tard. Toujours selon l’hypothèse A, un humain sur 10 aura connu l’an 2000, et l’humanité aura compté 50 milliards d’individus depuis son origine. L’hypothèse B affirme qu’un humain sur 1 000 aura connu l’an 2000, et alors l’humanité aura compté le chiffre astronomique de 5 000 milliards de personnes. D'une façon plus ou moins arbitraire, on estime a priori la théorie A hautement improbable, si bien qu'on lui associe la probabilité de 1 %, tandis que la théorie B bénéficie d’une probabilité de 99 %.

Maintenant, considérons un événement E, par exemple « un individu fait partie des 5 milliards d’individus qui ont connu l’an 2000 ». On peut se demander « Quelle est l’hypothèse la plus probable, sachant cet événement ? » et appliquer la formule de Bayes. Cette formule donnerait un résultat surprenant, en l'occurrence que la probabilité de l’hypothèse A grimperait à 50,25 % et B chuterait à 49,75 % :

${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid E)={\frac {\mathbb {P} (E\mid A)\cdot \mathbb {P} (A)}{\mathbb {P} (E)}}}$

On applique les hypothèses : ${\displaystyle \mathbb {P} (E\mid A)=10\%\ ,\ \mathbb {P} (E\mid B)=0,10\%}$

Or, avec : ${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {1}{100}}\ ,\ \mathbb {P} (B)={\frac {99}{100}}}$ on a : ${\displaystyle \mathbb {P} (E)=\mathbb {P} (E\cap A)+\mathbb {P} (E\cap B)=\mathbb {P} (E\mid A)\cdot \mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (E\mid B)\cdot \mathbb {P} (B)={\frac {19,9}{10000}}}$

On aboutit à : ${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid E)={\frac {10}{19,9}}=50,25\%}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (B\mid E)={\frac {9,9}{19,9}}=49,75\%}$

La probabilité de la fin du monde a donc significativement augmenté alors que l'individu a été pris au hasard. Il y a donc un biais dans le calcul qui n'a pas été envisagé.