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Approximation sigma

En mathĂ©matiques, l’approximation sigma, imaginĂ©e par Cornelius Lanczos, est une mĂ©thode de fenĂȘtrage qui permet d'ajuster une sĂ©rie de Fourier pour Ă©liminer le phĂ©nomĂšne de Gibbs qui pourrait survenir aux discontinuitĂ©s.

Principe

Comparaison animée de l'approximation d'un signal carré (en rouge) par sa série de Fourier (en bleu) et par son approximation sigma (en vert). On voit le phénomÚne de Gibbs apparaßtre au niveau des discontinuités alors que l'approximation sigma approche le carré de façon plus lisse.

Une approximation sigma appliquée à une série de période T peut s'écrire :

selon la fonction sinus cardinal normalisée

oĂč le terme

est le « facteur σ de Lanczos » qui est Ă  l'origine de la suppression de la plus grande partie des oscillations supplĂ©mentaires dues au phĂ©nomĂšne de Gibbs par attĂ©nuation des grandes valeurs des coefficients de Fourier associĂ©s. Il ne rĂ©sout cependant pas tout Ă  fait le problĂšme, mais dans les cas extrĂȘmes on peut mettre l'expression au carrĂ©, ou mĂȘme au cube, ou plus simplement recourir aux sommes de FejĂ©r.

Explication

L'idĂ©e de Lanczos consiste Ă  attĂ©nuer les coefficients de Fourier d’ordre Ă©levĂ©, qui rendent la sĂ©rie localement divergente. Il Ă©tudie ainsi les cas oĂč la dĂ©rivĂ©e de la sĂ©rie de Fourier peut fortement varier localement. En effet, pour une somme partielle d'une fonction dĂ©veloppĂ©e en sĂ©rie de Fourier de la forme

on pose

Le reste de la série de Fourier s'exprime alors sous la forme

Lanczos remarque que dans le cas gĂ©nĂ©ral, ρm(x) a la forme d'une onde porteuse lisse modulĂ©e de haute frĂ©quence, donc la dĂ©rivĂ©e du reste

va prendre de grandes valeurs si le reste ne converge pas « assez vite Â». Il pose ainsi un opĂ©rateur de diffĂ©rentiation adaptĂ© :

qui tend bien vers l'opérateur de dérivation pour m grand, mais donne

et les fonctions ρm(x), ρ–m(x) sont suffisamment lisses pour que les valeurs de leurs dĂ©rivĂ©es n'aient pas d'impact majeur sur l'erreur. En remarquant que

on voit qu'utiliser cet opĂ©rateur de diffĂ©rentiation revient Ă  multiplier les coefficients de Fourier par un facteur σ.

Bibliographie

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Sigma approximation » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Cornelius Lanczos, Linear Differential Operators, Londres & New York, Ă©d. van Nostrand, (rĂ©impr. 1997) (ISBN 0-486-68035-5), « Local smoothing by integration »
  • (en) Cornelius Lanczos, Applied Analysis, New York, Prentice-Hall, , 539 p. (ISBN 978-0-486-65656-4, BNF 37364956)
  • (en) Forman S. Acton, Numerical Methods That (Usually) Work, Washington(D.C.), The Mathematical Association of America, (rĂ©impr. 1997), 549 p. (ISBN 978-0-88385-450-1, BNF 37366302), « Fourier Series »
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