Approximation sigma
En mathĂ©matiques, lâapproximation sigma, imaginĂ©e par Cornelius Lanczos, est une mĂ©thode de fenĂȘtrage qui permet d'ajuster une sĂ©rie de Fourier pour Ă©liminer le phĂ©nomĂšne de Gibbs qui pourrait survenir aux discontinuitĂ©s.
Principe
Une approximation sigma appliquée à une série de période T peut s'écrire :
selon la fonction sinus cardinal normalisée
oĂč le terme
est le « facteur Ï de Lanczos » qui est Ă l'origine de la suppression de la plus grande partie des oscillations supplĂ©mentaires dues au phĂ©nomĂšne de Gibbs par attĂ©nuation des grandes valeurs des coefficients de Fourier associĂ©s. Il ne rĂ©sout cependant pas tout Ă fait le problĂšme, mais dans les cas extrĂȘmes on peut mettre l'expression au carrĂ©, ou mĂȘme au cube, ou plus simplement recourir aux sommes de FejĂ©r.
Explication
L'idĂ©e de Lanczos consiste Ă attĂ©nuer les coefficients de Fourier dâordre Ă©levĂ©, qui rendent la sĂ©rie localement divergente. Il Ă©tudie ainsi les cas oĂč la dĂ©rivĂ©e de la sĂ©rie de Fourier peut fortement varier localement. En effet, pour une somme partielle d'une fonction dĂ©veloppĂ©e en sĂ©rie de Fourier de la forme
on pose
Le reste de la série de Fourier s'exprime alors sous la forme
Lanczos remarque que dans le cas gĂ©nĂ©ral, Ïm(x) a la forme d'une onde porteuse lisse modulĂ©e de haute frĂ©quence, donc la dĂ©rivĂ©e du reste
va prendre de grandes valeurs si le reste ne converge pas « assez vite ». Il pose ainsi un opérateur de différentiation adapté :
qui tend bien vers l'opérateur de dérivation pour m grand, mais donne
et les fonctions Ïm(x), Ïâm(x) sont suffisamment lisses pour que les valeurs de leurs dĂ©rivĂ©es n'aient pas d'impact majeur sur l'erreur. En remarquant que
on voit qu'utiliser cet opĂ©rateur de diffĂ©rentiation revient Ă multiplier les coefficients de Fourier par un facteur Ï.
Bibliographie
- (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de lâarticle de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Sigma approximation » (voir la liste des auteurs).
- (en) Cornelius Lanczos, Linear Differential Operators, Londres & New York, éd. van Nostrand, (réimpr. 1997) (ISBN 0-486-68035-5), « Local smoothing by integration »
- (en) Cornelius Lanczos, Applied Analysis, New York, Prentice-Hall, , 539 p. (ISBN 978-0-486-65656-4, BNF 37364956)
- (en) Forman S. Acton, Numerical Methods That (Usually) Work, Washington(D.C.), The Mathematical Association of America, (réimpr. 1997), 549 p. (ISBN 978-0-88385-450-1, BNF 37366302), « Fourier Series »