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Annuité constante

L'annuité constante est le remboursement annuel d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné.

L'annuité constante d'un emprunt

La formule du taux d'annuité constante

Le calcul d'une annuité constante versée par l'emprunteur chaque année ou chaque période s'exprime par la formule :

avec :

  • est la valeur de l'annuité
  • est la valeur du capital emprunté ou emprunt,
  • est le taux d'intérêt
  • n est le nombre de périodes

Ainsi, si a est le taux d'annuité constante, on a :

Exemple d'un échéancier

Pour un prêt à remboursement par annuité constante de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % :

1re année 2e année 3e année 4e année 5e année total
annuités constantes 33161,16 33161,16 33161,16 33161,16 33161,16 165805,80
amortissements 31241,16 31616,05 31995,45 32379,39 32767,95 160000
intérêts 1920 1545,11 1165,71 781,77 393,21 5805,80

Comparaison avec un prêt à remboursement par amortissement constant de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % :

1re année 2e année 3e année 4e année 5e année total
annuités 33920 33536 33152 32768 32384 165760
amortissements constants 32000 32000 32000 32000 32000 160000
intérêts 1920 1536 1152 768 384 5760

Démonstration de la formule

Chaque année l'emprunteur doit verser une même somme appelée l'annuité constante égale à E x a si E est le montant de l'emprunt et a le taux d'annuité constante. Cette somme est composée d'une part des intérêts et d'autre part du remboursement du capital. Les intérêts vont en s'amenuisant chaque année puisqu'ils sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par i. Donc les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant chaque année et le calcul de la deuxième année montre que le facteur est de 1+i :

La 1re année les intérêts sont de :

et donc le remboursement est de :

Les intérêts la 2e année sont de :

et donc le remboursement est de :

Si on suppose que le remboursement augmente de ce même facteur chaque année alors la formule du remboursement Rn à l'année n est :

Pour être sûr que c'est toujours le même facteur quelle que soit l'année cela nécessite une démonstration par récurrence écrite plus bas. Ainsi on voit apparaître une suite géométrique dont les termes sont les remboursements successifs d'emprunt. Donc en fait si R1 soit E (a-i) est le remboursement de la première année et si Rn est celui de la dernière année alors la somme R1 + R2 + ... + Rn est égale à E le montant de l'emprunt. Après il suffit d'appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique de raison r égale à 1+i et de premier terme égal à E (a-i) pour résoudre l'équation et retrouver la formule du taux d'annuité constante.

On peut faire la démonstration rapide pour le calcul de la somme de cette suite géométrique.

Si Sn est la somme des n termes alors on a :

En multipliant tous les termes par 1+i on a :

En soustrayant ces deux suites tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier :

Les suites géométriques

La progression géométrique est une suite de nombres (ou termes) dont la raison r est constante, n étant le nombre de termes de la suite. Chaque terme est égal au terme précédent multiplié par r.

La somme de cette suite se calcule par la formule multipliée par le premier terme de la suite. La démonstration générale se trouve sur la page suite géométrique.

La démonstration par récurrence

Si on considère que la formule des remboursements est vraie au rang p, est-ce qu'elle l'est toujours au rang p+1 ?

Au rang p le remboursement est :

et la somme de tout ce qui a été remboursé est donc égale à :

Au rang p+1 les intérêts seront de :

et donc le remboursement du capital emprunté sera de E x a moins cette somme soit :

Donc on a bien quelle que soit l'année n :

La formule des remboursements

Il existe une autre formule concernant les remboursements successifs :

...

Pour démontrer cette deuxième formule des remboursements on part de la dernière année où le remboursement Rn est égal à ce qui reste à rembourser donc on a :

et donc

On vérifie aussi qu'en remplaçant a par la formule du taux d'annuité constante on obtient bien le même résultat pour le remboursement de la première année :

Les annuités de placement

Calcul du capital à l'échéance

A l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement pour les épargnants par exemple qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés.

Là aussi on obtient une suite géométrique. Si A est le montant de l'annuité, la valeur acquise du dernier ou n-ième versement sera de A (1+i). Celle de l'avant-dernier sera de A (1+i)2. Et ainsi de suite jusqu'au premier qui aura une valeur de A (1+i)n. Le capital à l'échéance sera donc la somme de tous ces termes et la formule des suites géométriques donne la réponse, A(1+i) étant le premier terme et 1+i la raison :

Rappel sur le calcul des intérêts

Si Co est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre d'années, I le montant à échéance des intérêts et Cn le montant du capital à l'échéance, le calcul d'un intérêt simple au bout des n années s'exprime par la formule :

exemple : = 30 000, = 1 %, = 10

Alors : = 30 000 x 0,01 x 10 = 3 000

Le calcul de la valeur acquise s'exprime par la formule :

= 30 000 (1 + 0,01 x 10) = 33 000

Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :

(n fois)

ou encore :

Avec les mêmes données que l'exemple précédent on obtient :

= 30 000 x 1,0110 = 33 138,66

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