Anneau euclidien non commutatif

Un anneau sans diviseur de zéro ${\displaystyle R}$ est appelé un anneau euclidien à gauche s'il existe une fonction ${\displaystyle \theta :R\rightarrow \mathbb {N} \cup \left\{-\infty \right\}}$, appelée fonction euclidienne à gauche[1] ou stathme euclidien à gauche[2] et vérifiant les conditions suivantes :

(E1) ${\displaystyle \theta \left(0\right)=-\infty }$.

(E2) Pour tous ${\displaystyle a,b\in R^{\times },\theta \left(ab\right)\geq \theta \left(a\right)>-\infty }$[3].

(E3) Pour tout ${\displaystyle a\in R}$ et pour tout ${\displaystyle b\in R^{\times }}$, il existe ${\displaystyle q,r\in R}$ tels que

${\displaystyle a=qb+r}$, ${\displaystyle \theta \left(r\right)<\theta \left(b\right)}$,

ce qu'on appelle algorithme de la division à gauche.

Ce qui précède est encore valide si l'on change partout gauche par droite, en inter-changeant ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ dans (E2), et en remplaçant l'algorithme de la division à gauche par l'algorithme de la division à droite:

${\displaystyle a=bq+r}$, ${\displaystyle \theta \left(r\right)<\theta \left(b\right)}$.

Les éléments ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle r}$ de l'algorithme de la division à gauche (resp. à droite) sont appelés un quotient et un reste de la division à droite (resp. à gauche) de ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle b}$.

Un anneau euclidien est un anneau euclidien à gauche qui est un anneau euclidien à droite.

Si l'on remplace (E2) par la condition plus forte

(E2') Pour tous ${\displaystyle a,b\in R^{\times },\theta \left(a-b\right)\leq \max \left\{\theta \left(a\right),\theta \left(b\right)\right\}}$ et ${\displaystyle \theta \left(ab\right)=\theta \left(a\right)\theta \left(b\right)}$,

on montre que le reste ${\displaystyle r}$ est unique (de même que le quotient ${\displaystyle q}$) et l'anneau euclidien à gauche ${\displaystyle R}$ est donc dit avec reste unique[1].

La propriété suivante est fondamentale: un anneau euclidien à gauche est principal à gauche (la démonstration étant identique à celle faite dans le cas commutatif: voir l'article anneau euclidien).

L'anneau des entiers relatifs ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ est un anneau euclidien commutatif avec pour stathme euclidien la fonction ${\displaystyle \theta }$ définie par ${\displaystyle \theta \left(n\right)=\left\vert n\right\vert }$ si ${\displaystyle n\neq 0}$ et ${\displaystyle \theta \left(0\right)=-\infty }$. Cet anneau euclidien n'est pas avec reste unique.

Soit l'anneau des opérateurs différentiels de la forme

${\displaystyle a_{0}\left(t\right){\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{1}\left(t\right){\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+...+a_{n}\left(t\right)}$.

où les ${\displaystyle a_{i}\left(t\right)}$ sont des fractions rationnelles en ${\displaystyle t}$ à coefficients dans le corps ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Cet anneau ${\displaystyle B_{1}\left(k\right)}$ est un anneau euclidien.

Plus généralement, soit ${\displaystyle K}$ un corps, ${\displaystyle \alpha }$ un automorphisme de ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle \delta :K\rightarrow K}$ une ${\displaystyle \alpha }$-dérivation, et considérons l'anneau ${\displaystyle R=K[X;\alpha ,\delta ]}$ des polynômes tordus d'indéterminée ${\displaystyle X}$ à coefficients dans ${\displaystyle K}$ (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau ${\displaystyle R}$ est euclidien avec reste unique, avec le degré pour stathme euclidien à gauche et à droite[1].