Anneau d'Hermite

Notons tout d'abord que le terme anneau d'Hermite est pris ici au sens introduit par Lissner[6]. Suivant une terminologie maintenant tombée en désuétude, due à Kaplansky[7], la notion d'anneau d'Hermite commutatif intègre coïncide avec celle d'anneau de Bézout. La notion précisée ci-dessous est plus générale.

• Un anneau ${\displaystyle R}$ est dit avoir la propriété IBN (en)[8] si ses puissances cartésiennes sont deux à deux non isomorphes en tant que modules[9] : ${\displaystyle \forall n,m,\quad R^{n}\cong _{R-\mathrm {mod} }R^{m}\quad \Rightarrow \quad n=m}$. Tout anneau commutatif non nul a la propriété IBN[10].
• Soit ${\displaystyle R}$ un anneau et ${\displaystyle P}$ un ${\displaystyle R}$-module à droite. Ce module ${\displaystyle P}$ est dit stablement libre (en) s'il existe des entiers ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ tels que ${\displaystyle P\oplus R^{m}\cong R^{n}}$[11] - [12].
  Il est clair qu'un module stablement libre est projectif de type fini, la réciproque étant en général inexacte. D'autre part, un module libre de type fini est stablement libre.
• Une matrice-ligne ${\displaystyle A_{1}\in R^{1\times n}}$ est dite unimodulaire si elle est inversible à droite.
  Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Pour toute ligne unimodulaire ${\displaystyle A_{1}}$, il existe une matrice ${\displaystyle A_{2}\in R^{n-1\times n}}$ telle que la matrice carrée${\displaystyle A=\left({\begin{array}{c}A_{1}\\A_{2}\end{array}}\right)}$est inversible.
2. Tout ${\displaystyle R}$-module à droite stablement libre est libre.

• Un anneau est dit d'Hermite à droite s'il a la propriété IBN et s'il vérifie les conditions équivalentes ci-dessus[11] - [13].
  On définit de même un anneau d'Hermite à gauche, mais un anneau est d'Hermite à droite si, et seulement si il est d'Hermite à gauche[11]. (La terminologie vient du fait suivant : Charles Hermite a montré que toute ligne non nulle de n entiers a_i peut être complétée par n – 1 lignes de n entiers de façon à former une matrice carrée dont le déterminant est le plus grand diviseur commun des a_i[14].)
• La notion d'anneau projectif libre a été introduite par Cohn[15]. Un anneau R est dit projectif libre si tout R-module projectif de type fini est libre[11].
  Il est clair que tout anneau projectif libre est d'Hermite, la réciproque étant inexacte.
• Soit R un anneau noethérien sans diviseurs de zéro. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Tout idéal à gauche ou à droite de R est stablement libre.
2. Tout R-module sans torsion est stablement libre.
   On appelle anneau stablement libre un anneau qui vérifie les conditions équivalentes ci-dessus[16] - [17].

• Si ${\displaystyle R}$ est un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif), tout ${\displaystyle R}$-module de type fini est libre. Par conséquent, tout anneau de Bézout est un anneau d'Hermite.
• Si ${\displaystyle R}$ est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation, ${\displaystyle R\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$ est un anneau projectif libre[18]. Cela cesse d'être exact dès que ${\displaystyle n\geq 2}$ si ${\displaystyle R}$ est un anneau de Bézout non commutatif (ou même un corps non commutatif, comme on l'a dit plus haut).
• Un anneau local, un anneau de Dedekind commutatif, sont des anneaux d'Hermite[19]. Cela n'est pas vrai d'un anneau de Dedekind non commutatif quelconque, comme le montre l'exemple de l'algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{1}\left(k\right)}$.
• L'anneau des polynômes de Laurent généralisés ${\displaystyle K\left[X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m},Y_{1}^{-1},\dots ,Y_{m}^{-1}\right]}$, où ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif, est projectif libre[20].
• Si ${\displaystyle R=K\left[\left[Y_{1},\dots ,Y_{m}\right]\right]}$, où ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif, alors ${\displaystyle R\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$ est projectif libre. La conjecture de Bass-Quillen, non démontrée, est que cela reste vrai si ${\displaystyle R}$ est, plus généralement, un anneau local régulier[21].
• Un anneau (non nécessairement commutatif) stablement libre est un anneau de Dedekind, la réciproque étant inexacte. Néanmoins, l'algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{1}\left(k\right)}$, où ${\displaystyle k}$ est un corps commutatif de caractéristique 0, est un anneau stablement libre qui n'est pas projectif libre[17].
• Un anneau (non nécessairement commutatif) est principal si, et seulement si il est stablement libre et d'Hermite[17].
  La condition nécessaire est évidente. La condition suffisante se démontre comme suit : soit ${\displaystyle R}$ un anneau stablement libre et ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ un idéal à gauche de ${\displaystyle R}$. Cet idéal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ est stablement libre. Si de plus ${\displaystyle R}$ est un anneau d'Hermite, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ est libre. Puisque ${\displaystyle R}$ est noethérien, ${\displaystyle R}$ est un anneau principal à gauche[22]. Le même raisonnement montre que ${\displaystyle R}$ est également un anneau principal à droite.

Keith Conrad, « Stably free modules »