Analyse entrée-sortie

Une économie comprend deux branches économiques : l'agriculture et l'industrie. Le secteur agricole produit 100 millions de boisseaux de blé dont 25 pour lui-même, 20 pour le secteur industriel et 55 pour la consommation des ménages. Le secteur industriel produit 50 millions de mètres carrés de drap dont 6 pour lui-même, 14 pour le secteur agricole et 30 pour la consommation des ménages. Ces différentes valeurs peuvent être mises sous forme de tableau, appelé tableau input-output :

Les lignes du tableau indiquent la répartition de la production entre les différents secteurs. Les colonnes donnent les inputs des secteurs. À la troisième ligne on a reporté la répartition de l'input travail (en millions d'heures). Cet input n'est l'output d'aucun secteur. On dit qu'il s'agit d'un input primaire.

Étant donné l'hypothèse de rendement d'échelle constant, on peut calculer la quantité d'input nécessaire pour une unité d'output. Il suffit de diviser les inputs de la branche par la production totale. On obtient :

Ces rapports sont appelés les coefficients techniques de production.

On peut exprimer l'output de chaque secteur en utilisant le système d'équations suivant :

${\displaystyle \quad {\begin{cases}q_{1}=0.25q_{1}+0.40q_{2}+y_{1}\\q_{2}=0.14q_{1}+0.12q_{2}+y_{2}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle q_{i}}$ représente la production du secteur ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle y_{i}}$ est la demande finale.

En général, on a le système suivant :

${\displaystyle \quad {\begin{cases}q_{1}=a_{11}q_{1}+a_{12}q_{2}+\dots +a_{1n}q_{n}+y_{1}\\q_{2}=a_{21}q_{1}+a_{22}q_{2}+\dots +a_{2n}q_{n}+y_{2}\\\dots \\q_{n}=a_{n1}q_{1}+a_{n2}q_{2}+\dots +a_{nn}q_{n}+y_{n}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle n}$ est le nombre de secteurs et le coefficient technique ${\displaystyle a_{ij}}$ donne la quantité de l'input ${\displaystyle i}$ nécessaire pour produire une unité de l'output ${\displaystyle j}$. On peut aussi écrire :

${\displaystyle \quad {\begin{cases}(1-a_{11})q_{1}-a_{12}q_{2}-\dots -a_{1n}q_{n}=y_{1}\\-a_{21}q_{1}+(1-a_{22})q_{2}-\dots -a_{2n}q_{n}=y_{2}\\\dots \\-a_{n1}q_{1}-a_{n2}q_{2}-\dots +(1-a_{nn})q_{n}=y_{n}\end{cases}}}$

et, sous forme matricielle: ${\displaystyle {\begin{matrix}[I-A]q=y\end{matrix}}}$ où ${\displaystyle A}$ est la matrice des coefficients techniques (${\displaystyle A=[a_{ij}]}$), ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle y}$ sont des vecteurs (${\displaystyle q=[q_{i}]}$, ${\displaystyle y=[y_{i}]}$) et ${\displaystyle I}$ est la matrice unité.

La matrice ${\displaystyle A}$ ne contient alors pas les coefficients techniques du facteur primaire. La contrainte concernant ce facteur sera examinée ci-dessous.

On détermine l'output nécessaire pour satisfaire un niveau donné de demande finale en résolvant ce système par rapport à ${\displaystyle q}$ :

${\displaystyle {\begin{matrix}q=[I-A]^{-1}y\end{matrix}}}$

pourvu que ${\displaystyle [I-A]}$ soit une matrice non singulière.

Soit ${\displaystyle b_{ij}}$ les éléments de la matrice ${\displaystyle [I-A]^{-1}}$. On peut écrire :

${\displaystyle \quad {\begin{cases}q_{1}=b_{11}y_{1}+b_{12}y_{2}+\dots +b_{1n}y_{n}\\q_{2}=b_{21}y_{1}+b_{22}y_{2}+\dots +b_{2n}y_{n}\\\dots \\q_{n}=b_{n1}y_{1}+b_{n2}y_{2}+\dots +b_{nn}y_{n}\end{cases}}}$

Comme les ${\displaystyle q_{i}}$ sont des outputs, il faut que tous les coefficients ${\displaystyle b_{ij}}$ soient non négatifs. En effet, si un coefficient est négatif on peut trouver une valeur suffisamment élevée de la consommation finale, associée à ce coefficient, qui conduit à une production négative et ceci n'est pas possible du point de vue économique. Par conséquent, la matrice ${\displaystyle [I-A]}$ doit satisfaire des conditions spéciales, appelées conditions de Hawkins-Simon (1949) :

${\displaystyle 1-a_{11}>0\quad$ ;\quad {\begin{vmatrix}1-a_{11}&-a_{12}\\-a_{21}&1-a_{22}\end{vmatrix}}>0\dots {\begin{vmatrix}1-a_{11}&\dots &-a_{1n}\\\dots \\-a_{n1}&\dots &1-a_{nn}\end{vmatrix}}>0}

Tous ces déterminants doivent être positifs. Si ces conditions ne sont pas satisfaites, l'économie n'est pas productive. Par exemple, elle utiliserait, directement et indirectement, plus d'une tonne d'acier pour produire une tonne de ce bien.

Après avoir déterminé l'output nécessaire pour obtenir une consommation finale donnée, il faut encore vérifier que l'input primaire soit disponible en quantité suffisante. Soit ${\displaystyle a_{oj}}$ les coefficients techniques de l'input primaire et ${\displaystyle L_{o}}$ la quantité disponible. Il faut alors satisfaire l'inégalité suivante :

${\displaystyle a_{o1}q_{1}+a_{o2}q_{2}++a_{on}q_{n}\leq L_{o}}$

Le modèle à deux secteurs examiné ci-dessus satisfait la condition de Hawkins et Simon puisque :

${\displaystyle 1-0.25>0\quad et\quad {\begin{vmatrix}1-0.25&-0.40\\-0.14&1-0.12\end{vmatrix}}=0.604>0}$

La matrice ${\displaystyle [I-A]^{-1}}$ est :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0.75&-0.40\\-0.14&0.88\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1.457&0.662\\0.232&1.242\end{pmatrix}}}$

Si ${\displaystyle y_{1}=55}$, ${\displaystyle y_{2}=60}$, on a ${\displaystyle q_{1}=119.86}$ et ${\displaystyle q_{2}=87.28}$.

Une augmentation de 30 millions de mètres carrés de la demande finale de draps exige un accroissement de la production de 37,28 millions et aussi une hausse de la production de blé.

Lorsque des groupes de branches ne reçoivent pas d'inputs d'autres groupes, on dit que le système input-output est décomposable. Dans ce cas, en permutant les colonnes et les lignes, on peut obtenir une matrice de coefficients techniques ayant la forme suivante :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{pmatrix}}}$

où ${\displaystyle A_{11}}$ et ${\displaystyle A_{22}}$ sont des sous-matrices carrées mais n'ayant pas nécessairement le même ordre.

Si la matrice des coefficients peut être transformée en une matrice diagonale en blocs :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&0\\0&A_{22}\end{pmatrix}}}$

on dit que le système est complètement décomposable.

Il est intéressant de connaître si le système est décomposable car on peut ainsi analyser le degré d'autarcie des différents secteurs économiques.

Le modèle à deux secteurs présenté ci-dessus donne le système de prix suivant :

${\displaystyle \quad {\begin{cases}p_{1}=1.457v_{1}+0.232v_{2}\\p_{2}=0.662v_{1}+1.242v_{2}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle v_{1}}$ et ${\displaystyle v_{2}}$ sont les éléments du vecteur ${\displaystyle v}$. Si le taux de salaire est de 40 $, on a ${\displaystyle v_{1}=32}$ et ${\displaystyle v_{2}=144}$. Par conséquent ${\displaystyle p_{1}=80}$ et ${\displaystyle p_{2}=200}$. Le tableau input-output en valeur, ou tableau des relations interindustrielles, est alors le suivant (en millions de $) :

Comme on a des valeurs (en $), il est possible d'additionner les chiffres de chaque colonne. On obtient ainsi le coût de la production tandis que la somme de la ligne correspondante donne le revenu total. Les deux sommes sont identiques puisqu'on a supposé que le prix était égal au coût unitaire.