Analyse d'échelle

Prenons comme exemple les équations Équations de Navier-Stokes appliquées à l'atmosphère, uniquement pour la composante verticale :

${\displaystyle {{\partial w} \over {\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}-{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}-g+2{\Omega u\cos \varphi }+\nu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right),\qquad (1)}$

ou R est le rayon de la Terre, Ω est la vitesse de rotation de la terres, g est la gravité, φ est la latitude ρ est la densité de l'air et ν est la viscosité cinématique de l'air (les turbulences en atmosphère libre sont négligées ).

Les relevés réels sur l'atmosphère de notre planète donnent :

• Vitesse horizontale de l'ordre de U = 10¹ m s⁻¹ et vertical de l'ordre de W = 10⁻² m s⁻¹.
• La dimension horizontale est L = 10⁶ m et la dimension verticale est H = 10⁴ m.
• L'ordre de grandeur du temps mis en jeu est T = L/U = 10⁵ s.
• La différence de pression dans la troposphère est ΔP = 10⁴ Pa
• La densité de l'air ρ = 10⁰ kg m⁻³.
• Les autres grandeurs physiques sont approximativement :

R = 6,378 × 10⁶ m ;

Ω = 7,292 × 10⁻⁵ rad s⁻¹ ;

ν = 1,46 × 10⁻⁵ m s⁻¹ ;

g = 9,81 m s⁻².

Estimer les différents termes dans l'équation (1) peut être fait en utilisant la méthode :

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\partial w} \over {\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}$

Maintenant il faut introduire les échelles et leurs valeurs dans l'équation (1) :

${\displaystyle {\frac {10^{-2}}{10^{5}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10^{-2}{\frac {10^{-2}}{10^{4}}}-{\frac {10^{2}+10^{2}}{10^{6}}}}$

${\displaystyle =-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10+2\times 10^{-4}\times 10+10^{-5}\left({\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{8}}}\right).\qquad (2)}$

Force est de constater que quasiment tous les termes de l'équation (2) sont négligeables. Il reste comme valeur non négligeable :

${\displaystyle 0=-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10.\qquad (3)}$

Cela simplifie drastiquement l'équation, et il ne reste que les termes de (3), soit l'équation simplifiée suivante :

${\displaystyle {{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}=-g}$

• Approximation

• (en) Barenblatt, G. I., Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics : Dimensional Analysis and Intermediate Asymptotics, Cambridge, Cambridge University Press, 1996, 386 p., poche (ISBN 978-0-521-43522-2, LCCN 95048212, lire en ligne)
• (en) Tennekes, H. et Lumley, John L., A first course in turbulence, Cambridge, MIT Press, Cambridge, Massachutes, 1972, 14^e éd., 300 p., relié (ISBN 978-0-262-20019-6, LCCN 77165072, lire en ligne)

• Scale analysis and Reynolds numbers (www.env.leeds.ac.uk/envi2210/notes/node7.html)
• eumetcal.meteo.fr