Alignement de points aléatoires

${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}}$

Une expression plus précise de l'espérance du nombre d'alignements de 3 points de largeur maximale ${\displaystyle w}$ et de longueur maximale ${\displaystyle d}$, parmi ${\displaystyle n}$ points placés au hasard sur un carré du côté ${\displaystyle L}$, est[3] :

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)}$.

Une généralisation à k point alignés (en ignorant les effets de bord) est[4] :

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots \left(n-\left(k-1\right)\right)}{k\left(k-2\right)!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}\left({\frac {d}{L}}\right)^{k}}$

qui possède approximativement les mêmes propriétés asymptotiques d'échelle que l'approximation grossière de la section précédente avec, pour n grand, une explosion combinatoire masquant les effets des autres variables.

Les simulations informatiques montrent que les points dans un plan ont tendance à former des alignements semblables à ceux trouvés par les chasseurs d'alignements en des nombres compatibles avec des estimations d'ordre de grandeur ci-dessus, ce qui suggère que les alignements peuvent aussi bien être le fruit du hasard. Ce phénomène se produit quel que soit le mode de génération des points : pseudo-aléatoirement par ordinateur, ou à partir de jeux de données d'installations concrètes comme des restaurants à pizza ou des cabines téléphoniques.

Il est facile de trouver des alignements de 4 à 8 points dans des ensembles de données raisonnablement petits avec w = 50 m. Choisir de grandes surfaces ou des valeurs plus grandes de w permet de trouver facilement des alignements de 20 points ou plus.

Théorie de Ramsey