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Équation xʸ=yˣ

En général, l'exponentiation n'est pas commutative. Cependant, l'équation  tient dans des cas particuliers, tels que

Graphe de xy = yx.

Histoire

L'équation  est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec  les seules solutions d'entiers naturels sont et  bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels. La réponse de Goldbach () contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant . Une solution similaire a été trouvée par Euler.

J. van Hengel a souligné que si  sont des entiers positifs avec  alors  il suffit donc d'envisager les possibilités et  afin de trouver des solutions entières.

Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition[1] qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques[2].

Solutions réelles positives

Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par .

Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant et en posant . Ainsi,

En élevant les deux côtés à la puissance  et en divisant par ,

Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont

Avec  ou  cela génère les solutions non-triviales entières, .

Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque . Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite . Ceci est fait en remplaçant avec , ainsi

Ainsi, la ligne et la courbe se croisent lorsque x = y = e.

Références

  1. « 21st Putnam 1960. Problem B1 » [archive du ], .
  2. (en) Alvin Hausner, « Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm », The American Mathematical Monthly, vol. 68, no 9, , p. 856-861 (JSTOR 2311682).
  • (en) A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly (The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1), The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions : 1938-1964, New York, MAA, , 59 p. (ISBN 0-88385-428-7, lire en ligne)
  • (de) Johann van Hengel, « Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt », Bericht : über d. Schuljahr ... / Königliches Gymnasium zu Emmerich (1876), , p. 9-12 (lire en ligne)

Liens externes

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