Équation xʸ=yˣ

L'équation ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (29 juin 1728). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec ${\displaystyle x\neq y,}$ les seules solutions d'entiers naturels sont ${\displaystyle (2,4)}$ et ${\displaystyle (4,2),}$ bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels. La réponse de Goldbach (31 janvier 1729) contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant ${\displaystyle y=vx}$. Une solution similaire a été trouvée par Euler.

J. van Hengel a souligné que si ${\displaystyle r,n}$ sont des entiers positifs avec ${\displaystyle r\geq 3}$ alors ${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r};}$ il suffit donc d'envisager les possibilités ${\displaystyle x=1}$ et ${\displaystyle x=2}$ afin de trouver des solutions entières.

Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition[1] qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques[2].

Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par ${\displaystyle x=y}$.

Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant ${\displaystyle x\neq y}$ et en posant ${\displaystyle y=vx}$. Ainsi,

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}$

En élevant les deux côtés à la puissance ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ et en divisant par ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle v=x^{v-1}.}$

Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont

${\displaystyle x=v^{\frac {1}{v-1}},}$

${\displaystyle y=v^{\frac {v}{v-1}}.}$

Avec ${\displaystyle v=2}$ ou ${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}$ cela génère les solutions non-triviales entières, ${\displaystyle 4^{2}=2^{4}}$.

Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque ${\displaystyle v=1}$. Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite ${\displaystyle v\to 1}$. Ceci est fait en remplaçant ${\displaystyle v=1+1/n}$ avec ${\displaystyle n\to \infty }$, ainsi

${\displaystyle x=\lim _{v\to 1}v^{\frac {1}{v-1}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.}$

Ainsi, la ligne et la courbe se croisent lorsque x = y = e.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Equation xʸ = yˣ » (voir la liste des auteurs).

• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, vol. II, Washington, 1920, 687 p. (lire en ligne), « Rational solutions of x^y = y^x »

• David Singmaster, « Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition » (version du 16 avril 2004 sur Internet Archive)

• Marta Sved, « On the Rational Solutions of x^y = y^x », Mathematics Magazine,‎ 1990 (lire en ligne [archive du 4 mars 2016])

• (en) A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly (The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1), The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions : 1938-1964, New York, MAA, 1980, 59 p. (ISBN 0-88385-428-7, lire en ligne)

• (de) Johann van Hengel, « Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a^b = b^a genügt », Bericht : über d. Schuljahr ... / Königliches Gymnasium zu Emmerich (1876),‎ 1888, p. 9-12 (lire en ligne)

• (en) Lajos Lóczi, « On commutative and associative powers » [archive du 15 octobre 2002], KöMaL (en), janvier 2000 traduction de : (hu) Lajos Lóczi, « Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás? » [archive du 6 mai 2016], sur komal.hu (en), janvier 2000

• « Rational Solutions to x^y = y^x », CTK Wiki Math, sur CTK Wiki Math
• « x^y = y^x - commuting powers » [archive du 28 décembre 2015], Arithmetical and Analytical Puzzles, sur Arithmetical and Analytical Puzzles, Torsten Sillke