Équation différentielle d'Euler

Solutions de l'équation d'Euler pour le cas de deux racines réelles

Solutions de l'équation d'Euler pour le cas d'une racine double

Solutions de l'équation d'Euler pour le cas de deux racines complexes

Un cas commun de l'équation de Cauchy est celui du second ordre (n=2), qui apparaît dans plusieurs problèmes physiques comme la résolution de l'équation de Laplace en coordonnées polaires. On peut donc ramener l'équation à la forme

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.\,}$

On cherche donc une solution simple de la forme

${\displaystyle y=x^{m}.\,}$

et il faut dès lors trouver les valeurs de m vérifiant

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,}$

La recherche des solutions m de l'équation du second degré

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,}$

amènent classiquement à trois cas :

• Deux racines réelles distinctes m₁ et m₂;
• Une racine double m;
• Deux racines complexes conjuguées α ± β i.

Le cas 1 donne une solution de la forme

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,}$

Le cas 2 donne

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,}$

Le cas 3 donne une solution de la forme

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}$

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}$

${\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}$

avec c₁, c₂ ∈ ℝ .