Équation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

L'équation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff est l'équation de l'équilibre hydrostatique en relativité générale.

Elle s'écrit§ 11.2.1_1-0">[1] :

{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-\left(\rho c^{2}+p\right){\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} r}}

avec§ 11.2.1_2-0">[2] :

{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} r}}={\frac {G}{c^{2}}}\left(m(r)+{\frac {4\pi r^{3}p(r)}{c^{2}}}\right){\frac {1}{r\left({\dfrac {r-2Gm(r)}{c^{2}}}\right)}}

soit§ 11.2.1_3-0">[3] :

{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {G}{c^{2}}}\left(\rho c^{2}+p\right)\left(m(r)+{\frac {4\pi r^{3}p(r)}{c^{2}}}\right){\frac {1}{r\left({\dfrac {r-2Gm(r)}{c^{2}}}\right)}}

Limite newtonienne

À la limite newtonienne (c'est-à-dire avec $m\ll r$ et $p\ll \rho c^{2}$ ), l'équation se réduit à§ 10.8_4-0">[4] :

{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=--{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho

Approximation post-newtonienne

À l'approximation post-newtonienne, l'équation s'écrit§ 2.6_5-0">[5] - [6] :

{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {p}{\rho c^{2}}}+{\frac {4\pi r^{3}p}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\right)

Histoire

Les éponymes de l'équation sont Richard C. Tolman (1881-1948) de l'Institut de technologie de Californie, d'une part, et J. Robert Oppenheimer (1904-1967) et George M. Volkoff (1914-2000) de l'université de Californie à Berkeley, d'autre part : ils ont adressé leurs articles respectifs[7] - [8] à la Physical Review qui les a reçus le même jour, 3 janvier 1939, et les a publiés dans son même numéro du 15 février 1939[9].

Notes et références

§ 11.2.1-1" class="mw-reference-text">Maggiore 2018, § 11.2.1, p. 90 (11.18).
§ 11.2.1-2" class="mw-reference-text">Maggiore 2018, § 11.2.1, p. 90 (11.21).
§ 11.2.1-3" class="mw-reference-text">Maggiore 2018, § 11.2.1, p. 90 (11.22).
§ 10.8-4" class="mw-reference-text">Grøn et Hervik 2007, § 10.8, p. 253 (10.253).
§ 2.6-5" class="mw-reference-text">Kippenhahn, Weigert et Weiss 2012, § 2.6, p. 17 (2.32).
Maciel 2015, p. 22 (2.11).
Oppenheimer et Volkoff 1939.
Tolman 1939.
Haensel, Potekhin et Yakovlev 2007, p. 5.

Voir aussi

Bibliographie

[Grøn et Hervik 2007] (en) Øyvind Grøn et Sigbjørn Hervik, Einstein's general theory of relativity : with modern applications in cosmology, New York, Springer, mai 2007, 1^re éd., XX-538 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-387-69199-2 et 978-1-4419-2406-3, EAN 9780387691992, OCLC 77540741, BNF 44643158, DOI 10.1007/978-0-387-69200-5, SUDOC 124591477, présentation en ligne, lire en ligne).
[Haensel, Potekhin et Yakovlev 2007] (en) Pawel Haensel, Alexander Y. Potekhin et Dima G. Yakovlev, Neutron stars, t. 1 : Equation of state and structure, New York, Springer, coll. « Astrophysics and space science library » (n^o 326), janvier 2007, 1^re éd., XXIV-619 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-387-33543-8 et 978-1-4419-2214-4, EAN 9780387335438, OCLC 470932120, BNF 41037819, DOI 10.1007/978-0-387-47301-7, Bibcode 2007ASSL..326.....H, SUDOC 112082890, présentation en ligne, lire en ligne).
[Kippenhahn, Weigert et Weiss 2012] (en) Rudolf Kippenhahn, Alfred Weigert et Achim Weiss, Stellar structure and evolution, Heidelberg, New York, Dordrecht et Londres, Springer, coll. « Astronomy and astrophysics library », octobre 2012 (réimpr. octobre 2020), 2^e éd. (1^re éd. 1990), XVIII-604 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-30255-8 et 978-3-642-44524-8, EAN 9783642302558, OCLC 824483179, BNF 44704657, DOI 10.1007/978-3-642-30304-3, Bibcode 2013sse..book.....K, SUDOC 16589668X, présentation en ligne, lire en ligne).
[Maciel 2015] (en) Walter J. Maciel, Introduction to stellar structure, Cham, Springer, coll. « Springer praxis books / astronomy and planetary sciences », septembre 2015, 1^re éd., XIII-215 p., 15 / 6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-319-16141-9 et 978-3-319-36610-4, EAN 9783319161419, OCLC 947337799, BNF 45807296, DOI 10.1007/978-3-319-16142-6, SUDOC 19278885X, présentation en ligne, lire en ligne).
[Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore, Gravitational waves, t. 2 : Astrophysics and cosmology, Oxford, Oxford University Press, mars 2018, 1^re éd., XIV-820 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, SUDOC 225716968, présentation en ligne, lire en ligne).
[Oppenheimer et Volkoff 1939] (en) J. Robert Oppenheimer et George M. Volkoff, « On massive neutron cores », Physical Review, vol. 55, n^o 4,‎ 15 février 1939, p. 374-381 (OCLC 4644047473, DOI 10.1103/PhysRev.55.374, résumé, lire en ligne [PDF]).
[Tolman 1939] (en) Richard C. Tolman, « Static solutions of Einstein's field equations for spheres of fluid », Physical Review, vol. 55, n^o 4,‎ 15 février 1939, p. 364-373 (OCLC 4644047451, DOI 10.1103/PhysRev.55.364, résumé, lire en ligne [PDF]).