Équation de Schröder

L'équation de Schröder[1] est une équation fonctionnelle à une variable, Elle porte le nom du mathématicien Ernst Schröder.

Soit une fonction h et une constante s telle que s ≠ 0 et s ≠ 1, trouver la fonction f telle que:
$f(h(x))=sf(x)$

L'équation de Schröder est l'équation de la valeur propre de l'opérateur de composition C_h qui associe une fonction f à la fonction composée f • h. Elle joue un rôle fondamental dans le domaine des équations fonctionnelles : c'est une simple équation linéaire et ses solutions servent souvent dans la construction de solutions à des équations plus compliquées [2]. Elle peut servir pour calculer des racines carrées fonctionnelles.

Applications

Linéarisation d'équation fonctionnelles

Soit une équation fonctionnelle linéaire de la forme :

f(g(x))=h(x)f(x)+F(x)

où f: I → I est inconnue, g, h, F sont connues et g(I) inclus dans I.

Si la fonction σ est solution de l'équation de Schröder pour la fonction g et la constante s, alors le changement de variable :

{\begin{cases}y=\sigma (x)\\{\bar {f}}(y)=f(x)\end{cases}}

mène à l'équation suivante, plus simple à résoudre[2] :

{\bar {f}}(sy)={\bar {h}}(y){\bar {f}}(y)+{\bar {F}}(y)

Avec ${\bar {h}}(y)=h(\sigma ^{-1}(y)),\;{\bar {F}}(y)=F(\sigma ^{-1}(y))$ .

Relation avec d'autres équations fonctionnelles

L'équation de Schröder fait partie de la famille des conjugacy equations (« équations de conjugaison »)[2] de la forme :

f(h(x))=H(f(x))

au même titre que les équations d'Abel et de Böttcher.

Voir aussi

Références

(de) Schröder, Ernst, « Ueber iterirte Functionen », Math. Ann, n^o 3 (2),‎ 1870, p. 296–322 (doi:10.1007/BF01443992)
(en) Efthimiou, Costas, Introduction to Functional Equations., 2010 (lire en ligne), page 247

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