Équation de Liapounov

Dans les énoncés suivants ${\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, et ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$ sont des matrices symétriques. La notation ${\displaystyle P>0}$ signifie que la matrice ${\displaystyle P}$ est définie positive.

Théorème (version temps continu) — Étant donné ${\displaystyle Q>0}$, il existe un unique ${\displaystyle P>0}$ satisfaisant

${\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0}$

si et seulement si le système linéaire ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$ est globalement asymptotiquement stable.

La fonction quadratique ${\displaystyle V(x)=x^{T}Px}$ est une fonction de Liapounov qui peut être utilisée pour vérifier la stabilité.

Théorème (version en temps discret) — Étant donné ${\displaystyle Q>0}$, il existe un unique ${\displaystyle P>0}$ satisfaisant

${\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0}$

si et seulement si le système linéaire ${\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}$ est globalement asymptotiquement stable.

Comme ci-dessus, ${\displaystyle x^{T}Px}$ est une fonction de Liapounov.

L'équation de Liapounov est linéaire, et donc si ${\displaystyle X}$ est de taille ${\displaystyle n}$, il peut être calculé en temps ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$ en utilisant les méthodes standard de factorisation matricielle.

Cependant, la structure spécifique de l'équation de Liapounov permet l'usage d'algorithmes beaucoup plus rapides. Dans le cas discret, la méthode de Schur de Kitagawa est souvent utilisée[3]. Dans le cas de l'équation de Liapounov continue, l'algorithme de Bartels-Stewart peut être utilisé[4].

On considère l'opérateur de vectorisation ${\displaystyle \operatorname {vec} (A)}$ qui empile les colonnes d'une matrice ${\displaystyle A}$, et on note ${\displaystyle A\otimes B}$ le produit de Kronecker de ${\displaystyle A}$ et de ${\displaystyle B}$. Les équations de Liapounov en temps continu et en temps discret peuvent être exprimées comme des solutions d'une équation matricielle. De plus, si la matrice ${\displaystyle A}$ est stable, la solution peut également être exprimée sous la forme d'une intégrale (cas du temps continu) ou d'une somme infinie (cas du temps discret).

On considère la dynamique linéaire en temps continu :

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} }$ .

On la discrétise en :

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\approx {\frac {\mathbf {x} _{t+1}-\mathbf {x} _{t}}{\delta }}}$,

où ${\displaystyle \delta >0}$ indique un petit déplacement dans le temps. En explicitant l'équation et en mélangeant les termes, on obtient une équation en temps discret pour ${\displaystyle \mathbf {x} _{t+1}}$ :

${\displaystyle \mathbf {x} _{t+1}=\mathbf {x} _{t}+\delta \mathbf {A} \mathbf {x} _{t}=(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )\mathbf {x} _{t}=\mathbf {B} \mathbf {x} _{t}}$

où ${\displaystyle \mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A} }$ . Maintenant, on peut utiliser l'équation de Liapounov en temps discret pour ${\displaystyle \mathbf {B} }$ :

${\displaystyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {M} \mathbf {B} -\mathbf {M} =-\delta \mathbf {Q} }$.

Avec la définition de ${\displaystyle \mathbf {B} }$, on a :

${\displaystyle (\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )^{T}\mathbf {M} (\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =-\delta \mathbf {Q} }$.

En développant cette expression, on obtient :

${\displaystyle (\mathbf {M} +\delta \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} )(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =\delta (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} )+\delta ^{2}\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} \mathbf {A} =-\delta \mathbf {Q} }$.

Comme ${\displaystyle \delta }$ est petit, si ${\displaystyle \delta }$ tend zéro, on s'approche de plus en plus d'une dynamique continue, et c'est ce qu'on obtient à la limite. On peut également récupérer les équations de Lyapounov en temps continu à la limite. Pour cela, on divise par ${\displaystyle \delta }$ des deux côtés, puis quand ${\displaystyle \delta \to 0}$, on trouve que :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} =-\mathbf {Q} }$

qui est l'équation de Liapounov en temps continu, comme indiqué.

• Équation de Sylvester
• Équation algébrique de Riccati
• Filtre de Kalman

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lyapunov equation » (voir la liste des auteurs).