Équation de Liénard

Soit f et g deux fonctions de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, avec g une fonction impaire et f une fonction paire. Alors on appelle « équation de Liénard » l'équation différentielle :

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$.

On peut l'écrire sous forme d'un système différentiel, c'est-à-dire d'une équation vectorielle d'ordre un en dimension deux. On pose :

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

alors on appelle « système de Liénard » l'équation suivante :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

L'oscillateur de Van der Pol, qui vérifie l'équation :

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

est un système de Liénard.

Étant donné un système de Liénard qui vérifie :

• ${\displaystyle \forall x>0\qquad g\left(x\right)>0}$ ;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty }$ ;
• F(x) possède une unique racine strictement positive en a, F(x) < 0 pour 0 < x < a ;
• F(x) > 0 et est monotone pour x > a .

Alors le système de Liénard possède un unique cycle limite stable, qui entoure l'origine.