Équation de Cole-Cole

L'équation de Cole-Cole est un modèle de relaxation qui est souvent utilisé pour décrire la relaxation diélectrique de polymères.

Elle est donnée par

${\displaystyle \varepsilon ^{*}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha }}}}$

où ${\displaystyle \varepsilon ^{*}}$ est la constante diélectrique (ou permittivité relative) complexe, ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$ et ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ sont les constantes diélectriques « statique » et « fréquence infinie », ${\displaystyle \omega }$ est la fréquence angulaire et ${\displaystyle \tau }$ est un temps caractéristique.

Le paramètre ${\displaystyle \alpha }$, qui prend une valeur comprise entre 0 et 1, permet de décrire différentes formes spectrales. Quand ${\displaystyle \alpha =0}$, le modèle Cole-Cole se réduit au modèle de Debye. Quand ${\displaystyle \alpha >0}$, la relaxation est étirée, c'est-à-dire qu'elle s'étend sur une plage plus large que la relaxation de Debye.

La séparation de la constante diélectrique complexe ${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$ a été donnée dans l'article original de Cole et Cole[1] comme suit :

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }){\frac {1+(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty })(\omega \tau )^{1-\alpha }\cos \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}$

Ces dernières expressions se traduisent, après introduction des fonctions hyperboliques, par

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty })\left[1-{\frac {\sinh((1-\alpha )x)}{\cosh((1-\alpha )x)+\cos \alpha \pi /2}}\right]}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty }){\frac {\cos \alpha \pi /2}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin \alpha \pi /2}}}$

Où ${\displaystyle x=\ln(\omega \tau )}$.

On retrouve les expressions de Debye lorsque ${\displaystyle \alpha =0}$.

La relaxation de Cole-Cole constitue un cas particulier de la relaxation de Havriliak-Negami lorsque le paramètre de symétrie (β) est égal à 1, c'est-à-dire lorsque les pics de relaxation sont symétriques. Un autre cas particulier de relaxation de Havriliak-Negami (β<1, α=1) est connu sous le nom de « relaxation de Cole-Davidson ».

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