Zéro d'une fonction holomorphe

L'ordre de multiplicité (ou la multiplicité) d'un zéro isolé ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle f}$ est l'unique entier ${\displaystyle n>0}$ tel que :

• pour tout entier naturel ${\displaystyle k<n}$, ${\displaystyle f^{(k)}(a)=0~}$

et

• ${\displaystyle f^{(n)}(a)\neq 0.}$

Lorsque ${\displaystyle n=1}$, on dit que ${\displaystyle a}$ est un zéro simple.

• ${\displaystyle a}$ est un zéro isolé d'ordre ${\displaystyle n}$ de ${\displaystyle f}$ (si et) seulement s'il existe une fonction holomorphe ${\displaystyle g}$, définie sur un disque ouvert ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r)}$ inclus dans ${\displaystyle U}$, telle que :
  • ${\displaystyle \forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=(z-a)^{n}\,g(z)}$ et
  • ${\displaystyle g(a)\neq 0.}$
• Principe des zéros isolés : si ${\displaystyle a}$ est un zéro non isolé de ${\displaystyle f}$, alors il existe un disque ouvert ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r)}$ inclus dans ${\displaystyle U}$ sur lequel ${\displaystyle f}$ est nulle.

On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

Soient ${\displaystyle a}$ un nombre complexe et

${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,~z\mapsto \exp(z)-\exp(a)-(z-a)~\exp(a).}$

Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ℂ) et ${\displaystyle a}$ en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que

${\displaystyle f(a)=f'(a)=0\quad {\text{et}}\quad f''(a)\neq 0.}$

Soient ${\displaystyle U}$ un ouvert connexe de ℂ et deux fonctions ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ définies et holomorphes sur ${\displaystyle U}$.

Si l'ensemble ${\displaystyle \{z\in U\mid f_{1}(z)=f_{2}(z)\}}$ possède au moins un point non isolé, alors ${\displaystyle f_{1}=f_{2}}$.

Ou encore :

s'il existe un élément ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle U}$ et une suite ${\displaystyle (z_{n})}$ d'éléments de ${\displaystyle U}$ distincts de ${\displaystyle a}$, convergeant vers ${\displaystyle a}$, tels que pour tout entier ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle f_{1}(z_{n})=f_{2}(z_{n})}$, alors

${\displaystyle \forall z\in U\quad f_{1}(z)=f_{2}(z)}$.

Soit ${\displaystyle U}$ un ouvert connexe de ℂ contenant un intervalle ${\displaystyle I}$ de ℝ non réduit à un point : les points de ${\displaystyle I}$ sont non isolés.

Si les fonctions ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ sont holomorphes sur ${\displaystyle U}$ et coïncident sur ${\displaystyle I}$, alors elles coïncident sur ${\displaystyle U}$.

Cela signifie qu'une fonction de ${\displaystyle I}$ dans ℂ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe ${\displaystyle U}$ de ℂ contenant ${\displaystyle I}$.

• Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à ℂ de la fonction exponentielle réelle.
• On suppose connue l'identité ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
  • Soit ${\displaystyle y}$ un réel quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ en posant ${\displaystyle f_{1}(z)=\exp(z+y)}$ et ${\displaystyle f_{2}(z)=\exp(z)\exp(y)}$. Ces deux fonctions coïncident sur ℝ, donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle \exp(z+y)=\exp(z)\exp(y)}$, et cela pour tout réel ${\displaystyle y}$ ;
  • Soit ${\displaystyle z}$ un complexe quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes ${\displaystyle f_{3},f_{4}}$ en posant ${\displaystyle f_{3}(u)=\exp(z+u)}$ et ${\displaystyle f_{4}(u)=\exp(z)\exp(u)}$. Ces deux fonctions coïncident sur ℝ (d'après le point précédent), donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle \exp(z+u)=\exp(z)\exp(u)}$, et cela pour tout complexe z.

Le principe de l'argument permet de donner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe, comptés avec multiplicité, inclus dans un disque.

Si F est holomorphe sur un voisinage d'un disque fermé D tel que F ne s'annule pas sur le bord du disque, la formule suivante donne le nombre de zéros de F, comptés avec multiplicité, dans le disque D :

${\displaystyle {\frac {1}{2i\pi }}\oint _{\partial D}{\frac {F'(\xi )}{F(\xi )}}~\mathrm {d} \xi .}$