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Transformée sans parfum

La transformée sans parfum est une méthode permettant de calculer les statistiques d’une variable aléatoire qui subit une transformation non linéaire [1] - [2].

Elle est fondée sur l’idée qu’il est plus facile d’estimer une distribution gaussienne que d’approcher une fonction non linéaire [3].

Contexte

Considérons le système non linéaire , avec une variable aléatoire de moyenne de covariance et une variable aléatoire de statistique à déterminer. Un ensemble de points est choisi de manière déterministe telle que sa moyenne et sa covariance soient respectivement et .

Ces points nommées "points sigma" capturent la forme de la densité de probabilité de .

La fonction non linéaire est appliquée à chacun de ces points afin d’obtenir un nuage de points transformés de moyenne et covariance .

La densité de probabilité de la variable aléatoire x de dimension n, de moyenne et de covariance est approchée par points pondérés donnés par :

où , est la ligne ou colonne de la matrice racine carrée de et est le poids associé au point.

Procédure

La procédure de transformation est la suivante :

  1. Transformer chaque point par la fonction non linéaire afin d'obtenir l'ensemble des points transformés :
  2. La moyenne est donnée par la moyenne pondérée des points transformés :
  3. La matrice de covariance est donnée par :

Références

  1. E.A. Wan et R. Van Der Merwe, « The unscented Kalman filter for nonlinear estimation », Proceedings of the IEEE 2000 Adaptive Systems for Signal Processing, Communications, and Control Symposium (Cat. No.00EX373),‎ , p. 153–158 (DOI 10.1109/ASSPCC.2000.882463, lire en ligne)
  2. S. Julier, J. Uhlmann et H.F. Durrant-Whyte, « A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators », IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, no 3,‎ , p. 477–482 (ISSN 1558-2523, DOI 10.1109/9.847726, lire en ligne)
  3. Cindy CAPPELLE, « Localisation de véhicules et détection d'obstacles Apport d'un modèle virtuel 3D urbain », Thèse de doctorat Université de Lille,‎
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