Transformée de Fourier-Mukai

Soit ${\displaystyle X}$ une variété abélienne et ${\displaystyle {\hat {X}}}$ sa variété abélienne duale. On note ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ le fibré de Poincaré sur ${\displaystyle X\times {\hat {X}}}$, normalisé de façon à être trivial sur les fibres ${\displaystyle X\times 0}$ et ${\displaystyle 0\times {\hat {X}}}$. Soient ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle {\hat {p}}}$ les projections canoniques.

Le foncteur de Fourier-Mukai est défini par :

${\displaystyle R{\mathcal {S}}:{\mathcal {F}}\in D(X)\mapsto R{\hat {p}}_{\ast }(p^{\ast }{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {P}})\in D({\hat {X}})}$

On a un foncteur similaire en sens inverse ${\displaystyle R{\widehat {\mathcal {S}}}:D({\hat {X}})\to D(X)}$.

Soit ${\displaystyle g}$ la dimension de ${\displaystyle X}$.

On a une propriété d'involutivité :

${\displaystyle R{\mathcal {S}}\circ R{\widehat {\mathcal {S}}}=(-1)^{\ast }[-g]}$

La transformée de Fourier-Mukai échange (au degré près) le produit de Pontryagin et le produit tensoriel :

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\ast {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\otimes R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})}$

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\ast R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})[g]}$

• Shigeru Mukai, Duality between ${\displaystyle D(X)}$ and ${\displaystyle D({\hat {X}})}$ with its application to Picard sheaves, Nagoya Mathematical Journal 81, 153-175, ISSN 0027-7630 (1981)