Théorème du jury

On suppose que le groupe est composé de n individus, avec n impair et que m individus choisissent la bonne issue. (On prend n impair pour éviter de tomber sur une égalité, mais si on décide qu'on tire à pile ou face en cas d'égalité, on peut alors prendre n pair.)

Si on ajoute deux autres personnes au groupe (n reste donc impair), alors le vote de la majorité change seulement dans deux cas :

• il manquait une voix pour que m soit supérieur à n-m et les deux nouveaux individus ont voté pour la bonne issue. On passe donc d'une majorité pour la mauvaise issue à une majorité pour la bonne issue.
• m était supérieur à n-m d'une seule voix et les deux nouveaux individus ont voté pour la mauvaise issue. On passe donc d'une majorité pour la bonne issue à une majorité pour la mauvaise issue.

En dehors de ces deux cas, soit l'écart se creuse, soit il se réduit mais l'ordre ne change pas. On s'intéresse donc à la situation initiale dans laquelle il y a une seule voix de différence entre m et n-m. On peut alors réduire cette situation à une situation dans laquelle les n-1 premiers votes se sont annulés et le n^e vote décide de la majorité. Dans ce cas, la probabilité que la majorité choisisse la bonne issue est donc p.

Imaginons désormais que l'on ajoute deux votants au groupe. La probabilité pour qu'ils fassent passer la majorité d'une mauvaise issue à une bonne issue est (1-p)p². En effet, le premier votant choisit la mauvaise issue avec probabilité 1-p (ce qui détermine le choix de la majorité) puis les deux nouveaux arrivants votent pour la bonne issue avec probabilité p² (p chacun), ce qui change la majorité. De la même manière, la probabilité pour qu'ils fassent passer la majorité de la bonne issue à la mauvaise issue est p(1-p)². La première situation a plus de chances d'arriver seulement si p > 1/2, ce qui prouve le théorème.

Il s'agit ici d'additionner les probabilités de majorités. Chaque terme de la somme est la multiplication du nombre de combinaisons possibles pour certaine majorité par la probabilité de cette majorité. Chaque majorité est comptée par une combinaison où l'on prend k individus parmi n, avec k la taille de la majorité et n la taille du groupe. Les probabilités vont de 0 (le vote aboutit toujours à la mauvaise issue) à 1 (bonne issue). Chaque choix étant indépendant de celui des autres, on peut simplement multiplier les probabilités de décision de chacun, avec p la probabilité de choisir la bonne issue et q la mauvaise (q est donc égal à 1-p).

Prenons tout d'abord la situation dans laquelle n = 3 et p = 0,8. On doit montrer que la probabilité que la majorité choisisse la bonne issue est plus grande que 0,8, ce qui est le cas. En effet :

(0,8 × 0,8 × 0,8) + (0,8 × 0,8 × 0,2) + (0,8 × 0,2 × 0,8) + (0,2 × 0,8 × 0,8) = 0,896

Si l'on prend désormais n = 9, on doit montrer que :

${\displaystyle {\binom {9}{5}}p^{5}q^{4}+{\binom {9}{6}}p^{6}q^{3}+\cdots +{\binom {9}{9}}p^{9}>p,}$

ce qui revient à montrer que :

${\displaystyle {\binom {9}{5}}p^{4}q^{4}+{\binom {9}{6}}p^{5}q^{3}+{\binom {9}{7}}p^{6}q^{2}+{\binom {9}{8}}p^{7}q^{1}+{\binom {9}{9}}p^{8}>1.}$

ce qui est le cas.