Théorème de la porte

Propriété du menuisier : la droite (d), perpendiculaire aux droites (d₁) et (d₂) sécantes en O, est perpendiculaire au plan (p) contenant ces deux droites. La porte tourne alors normalement autour de (d)[4].

Cette propriété de géométrie dans l'espace se révèle tellement utile qu'on lui donne parfois le nom de théorème fondamental de l'orthogonalité[4].

Elle se démontre facilement à l'aide du produit scalaire[5]. Mais Daniel Perrin[6] propose une démonstration utilisant uniquement des triangles isométriques: partant d'une droite (d) perpendiculaire en O à deux droites sécantes (d₁) et (d₂) du plan, il démontre qu'elle est perpendiculaire à toute autre droite (d₃) du plan passant par O. Pour ce faire, il envisage une droite du plan coupant les trois droites en A, B et C, prend sur (d) deux points M et N symétriques par rapport à O et travaille successivement sur les triangles isométriques MAB et NAB puis MAC et NAC pour démontrer que (d₃) est médiatrice de [MN].

C'est une méthode utile pour démontrer que deux droites sont orthogonales : il suffit de démontrer qu'une des droites est perpendiculaire à un plan contenant l'autre droite[7], ou plus simplement que cette droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan contenant l'autre droite. En particulier, ce théorème permet de démontrer le théorème des trois perpendiculaires[7].

Théorème du toit