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Théorème de Wiener-Wintner

En mathématiques, le théorème de Wiener-Wintner, démontré en 1941 par Norbert Wiener et Aurel Wintner, est un renforcement du théorème ergodique.

Énoncé

Supposons que est une transformation préservant les mesures d'un espace mesuré S de mesure finie. Si f est une fonction à valeurs réelles et intégrable sur S, le théorème de Wiener-Wintner affirme qu'il existe un ensemble E de mesure nulle telle que la moyenne

existe pour tout réel et pour tout P n'appartenant pas à E.

Le cas particulier λ = 0 est essentiellement le théorème ergodique de Birkhoff, d'où découle immédiatement l'existence d'un ensemble E de mesure nulle, pour tout λ fixé, ou pour tout ensemble dénombrable de λ. L'intérêt du théorème de Wiener-Wintner est que l'on peut choisir l'ensemble négligeable exceptionnel E indépendamment de λ.

Ce théorème est un cas particulier du théorème des temps de retour.

Références

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