Théorème de Sokhotski–Plemelj

Le théorème de Sokhotski–Plemelj en analyse complexe permet l'évaluation d'intégrales de Cauchy. Il a été démontré par Julian Sokhotski en 1873[1] et redécouvert par Joseph Plemelj[2] en 1908 dans sa résolution du problème de Riemann-Hilbert (en)[3].

Le théorème

Soit C un contour fermé régulier du plan et f une fonction analytique sur C. L'intégrale de Cauchy

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi

définit deux fonctions analytiques[4] - [3] :

- à l'intérieur du domaine défini par C	$\Phi _{+}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi +{\frac {1}{2}}f(z)$
- hors de ce domaine	$\Phi _{-}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi -{\frac {1}{2}}f(z)$

On peut ainsi résoudre les problèmes où l'on impose sur C :

Ce dernier cas constitue le problème de Riemann-Hilbert.

Soit f une fonction à valeur complexe définie et continue sur l'axe réel et soient $a$ et $b$ deux valeurs réelles telles que $a$ < 0 < $b$ . Alors

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx\mp {\frac {1}{2}}f(0)

Démonstration

On développe :

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx\mp {\frac {1}{2}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx

Dans le premier terme ${\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$ est symétrique par rapport à 0, tend vers 1 lorsque $|x|>>\varepsilon$ , vers 0 lorsque $|x|<<\varepsilon$ . La limite est donc la valeur principale de Cauchy.
Dans le second terme ${\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}$ tend vers une distribution de Dirac.

I=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\,e^{-iEt}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} E

où E est une énergie et t le temps. Cette intégrale en temps ne converge pas et on la remplace par :

I=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\,e^{-iEt-\varepsilon t}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} E

Par application du cas particulier ci-dessus du théorème

I=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i\,\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,

(ru) Yu. V. Sokhotski, On Definite Integrals and Functions Employed in Expansions into Series, Université d'État de Saint-Pétersbourg, 1873
(en) Josip Plemelj, Problems in the sense of Riemann and Klein, Interscience Publishers, coll. « Interscience tracts in pure and applied mathematics », 1964
(en) Martin Killian, « On the Riemann-Hilbert Problem », sur University College Cork
(en) Howard E. Haber, « The Sokhotski-Plemelj Formula », sur Université de Californie à Santa Cruz
(en) Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Volume 1 : Foundations, Cambridge University Press, 2005, 640 p. (ISBN 0-521-67053-5)

(en) N. I. Muskhelishvili, Singular Integral Equations : Boundary Problems of Functions Theory and their Applications to Mathematical Physics, Wolters-Noordhoff, 1972, 441 p. (ISBN 90-01-60700-4)
(en) Peter Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Volume 3 : Discrete Fourier Analysis, Cauchy Integrals, Construction of Conformal Maps, Univalent Functions, Wiley, 1993, 656 p. (ISBN 978-0-471-58986-0, lire en ligne)
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