Théorème de Sokhotski–Plemelj
Le théorème de Sokhotski–Plemelj en analyse complexe permet l'évaluation d'intégrales de Cauchy. Il a été démontré par Julian Sokhotski en 1873[1] et redécouvert par Joseph Plemelj[2] en 1908 dans sa résolution du problème de Riemann-Hilbert (en)[3].
Le théorème
Soit C un contour fermé régulier du plan et f une fonction analytique sur C. L'intégrale de Cauchy
définit deux fonctions analytiques[4] - [3] :
- à l'intérieur du domaine défini par C | |
- hors de ce domaine |
On peut ainsi résoudre les problèmes où l'on impose sur C :
- un saut | |
- une valeur | |
- une relation du type |
Ce dernier cas constitue le problème de Riemann-Hilbert.
Cas particulier
Soit f une fonction à valeur complexe définie et continue sur l'axe réel et soient a et b deux valeurs réelles telles que a < 0 < b. Alors
Un exemple en physique
En mécanique quantique et théorie quantique des champs on doit évaluer des intégrales du type[5] :
où E est une énergie et t le temps. Cette intégrale en temps ne converge pas et on la remplace par :
Par application du cas particulier ci-dessus du théorème
Références
- (ru) Yu. V. Sokhotski, On Definite Integrals and Functions Employed in Expansions into Series, Université d'État de Saint-Pétersbourg,
- (en) Josip Plemelj, Problems in the sense of Riemann and Klein, Interscience Publishers, coll. « Interscience tracts in pure and applied mathematics »,
- (en) Martin Killian, « On the Riemann-Hilbert Problem », sur University College Cork
- (en) Howard E. Haber, « The Sokhotski-Plemelj Formula », sur Université de Californie à Santa Cruz
- (en) Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Volume 1 : Foundations, Cambridge University Press, , 640 p. (ISBN 0-521-67053-5)
- (en) N. I. Muskhelishvili, Singular Integral Equations : Boundary Problems of Functions Theory and their Applications to Mathematical Physics, Wolters-Noordhoff, , 441 p. (ISBN 90-01-60700-4)
- (en) Peter Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Volume 3 : Discrete Fourier Analysis, Cauchy Integrals, Construction of Conformal Maps, Univalent Functions, Wiley, , 656 p. (ISBN 978-0-471-58986-0, lire en ligne)
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sokhotski–Plemelj theorem » (voir la liste des auteurs).