Théorème de Darmois

Soit une variable X dont le domaine de définition ne dépend pas de ${\displaystyle \theta }$

• Une condition nécessaire et suffisante pour que l'échantillon ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n})}$ admette une statistique exhaustive est que la forme de la densité soit :

${\displaystyle f(x,\theta )=\exp(a(x)\cdot \alpha (\theta )+b(x)+\beta (\theta ))}$ (famille exponentielle)

• Si la densité est de cette forme et si de plus l'application ${\displaystyle x_{1}\to \sum _{i=1}^{n}a(x_{i})}$ est bijective et continûment différentiable pour tout i,

alors ${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}a(X_{i})}$ est une statistique exhaustive particulière.