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Théorème de Casey

Le théorème de Casey est un théorème de géométrie démontré en 1881 par le mathématicien irlandais John Casey (1820-1891). Il constitue une généralisation du théorème de Ptolémée.

Énoncé du théorème

Soit un cercle de rayon . Soient quatre cercles, ne s'intersectant pas, intérieurs à et tangents à , de rayons . Notons la longueur du segment tangent extérieurement commun aux cercles . Alors[1] :

Dans le cas dégénéré, où les quatre cercles se réduisent à des points, on obtient le théorème de Ptolémée.

Démonstration

Si est le point de contact du cercle avec , le quadrilatère étant inscriptible, on a la relation de Ptolémée : .

La relation de Casey s'obtient à partir de l'expression [2].

Références

  1. Mathematical Excalibur, Volume 16, Number 5, March - April 2012
  2. Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , p. 386-387
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