Théorème de Casey

Soit ${\displaystyle O}$ un cercle de rayon ${\displaystyle R}$. Soient ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ quatre cercles, ne s'intersectant pas, intérieurs à ${\displaystyle O}$ et tangents à ${\displaystyle O}$, de rayons ${\displaystyle R_{i},i=1\cdots 4}$. Notons ${\displaystyle t_{ij}}$ la longueur du segment tangent extérieurement commun aux cercles ${\displaystyle O_{i},O_{j}}$. Alors[1] :

${\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$

Dans le cas dégénéré, où les quatre cercles se réduisent à des points, on obtient le théorème de Ptolémée.

Si ${\displaystyle T_{i}}$ est le point de contact du cercle ${\displaystyle O_{i}}$ avec ${\displaystyle O}$, le quadrilatère ${\displaystyle T_{1}T_{2}T_{3}T_{4}}$ étant inscriptible, on a la relation de Ptolémée : ${\displaystyle T_{1}T_{2}.T_{3}T_{4}+T_{2}T_{3}.T_{4}T_{1}=T_{1}T_{3}.T_{2}T_{4}}$.

La relation de Casey s'obtient à partir de l'expression ${\displaystyle t_{ij}={\frac {T_{i}T_{j}}{R}}{\sqrt {(R-R_{i})(R-R_{j})}}}$ [2].