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Théorème de Birch

En mathématiques, le théorème de Birch, démontré par Bryan Birch[1], est un énoncé sur la représentabilité de 0 par des polynômes homogènes de degrés impairs.

Énoncé

Soient K un corps de nombres, l un entier naturel et r1, … ,rk des entiers naturels impairs. Il existe un nombre ψ(r1, … ,rk, l, K) tel que pour tous polynômes homogènes en n variables f1, … , fk à coefficients dans K, de degrés respectifs r1, … ,rk, si n ≥ ψ(r1, … ,rk, l, K), alors il existe un sous-espace vectoriel de dimension l de Kn sur lequel f1, … , fk s'annulent tous.

Remarques

La démonstration se fait par récurrence sur max(r1, … ,rk).

Une étape essentielle est de prouver, en appliquant la méthode du cercle de Hardy-Littlewood, que si r est impair alors, pour n assez grand et pour tous entiers relatifs c1, … , cn, l'équation c1x1r + … + cnxnr = 0 possède une solution entière non triviale, c'est-à-dire constituée d'entiers relatifs x1, … , xn non tous nuls.

La condition « r impair » est indispensable puisqu'une forme de degré pair peut ne s'annuler qu'en 0 : par exemple une forme quadratique définie positive.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Birch's theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) B. J. Birch, « Homogeneous forms of odd degree in a large number of variables », Mathematika, vol. 4, , p. 102-105

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