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Théorème d'interpolation de Craig

En logique mathématique, le théorème d'interpolation de Craig dit que si une formule φ en implique une deuxième ψ, et que φ et ψ partagent au moins un symbole non logique en commun, alors il existe une formule ρ, appelée interpolant, telle que :

  • φ implique ρ ;
  • ρ implique ψ ;
  • tout symbole non logique dans ρ apparaît à la fois dans φ et ψ.

Exemple

Par exemple, en posant :

φ = (je prends un K-way ou je prends un parapluie) et je mange une glace ;
ψ = (s'il pleut alors je prends un K-way) ou (s'il pleut alors je prends un parapluie),

on a φ implique ψ. Les formules φ et ψ partagent « je prends un K-way » et « je prends un parapluie » comme symboles non logiques. La formule (je prends un K-way ou je prends un parapluie) est un interpolant.

Formellement, en logique propositionnelle, en posant :

φ = (P ∨ R) ∧ Q ;
ψ = (T → P) ∨ (T → R),

on a φ implique ψ. Les formules φ et ψ partagent P et R comme symboles non logiques. La formule (P ∨ R) est un interpolant.

Histoire

Il a été démontré par William Craig pour la logique du premier ordre en 1957[1].

Démonstrations

En logique du premier ordre, le théorème d'interpolation de Craig s'énonce ainsi :

Théorèmes d'interpolation de Craig Soit φ, ψ deux formules du premier ordre telle φ et ψ partagent au moins un symbole non logique en commun. Si φ → ψ est valide, alors il existe une formule ρ telle que :

  • φ → ρ est valide ;
  • ρ → ψ est valide ;
  • tout symbole non logique dans ρ apparaît à la fois dans φ et ψ.

Il existe plusieurs façons de démontrer le théorème d'interpolation de Craig :

Théorème d'interpolation de Craig-Lyndon

Le théorème d'interpolation de Craig-Lyndon est une extension du théorème d'interpolation de Craig.

Notes et références

  1. (en) William Craig, « Three Uses of the Herbrand-Gentzen Theorem in Relating Model Theory and Proof Theory », The Journal of Symbolic Logic, vol. 22, , p. 269–285 (DOI 10.2307/2963594, lire en ligne, consulté le ).
  2. René David, Karim Nour et Christophe Raffali, Introduction à la logique : Théorie de la démonstration, Dunod, p. 216-218
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