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Théorème d'Erdős (théorie des nombres)

En mathématiques, le théorème d'Erdős est un théorème en théorie des nombres. Il revient à l'important mathématicien hongrois Paul Erdős.

Le théorème est lié à une conjecture formulée en 1849 par le mathématicien français Alphonse de Polignac (1817–1890), énonçant que tous les entiers naturels impairs  possèdent une représentation de la forme , où est un entier naturel et un nombre premier, ou .

Grâce à son théorème, Erdős a réussi à démontrer que la conjecture de Polignac est erronée dans de nombreux cas[1].

Énoncé

Le théorème peut être énoncé comme suit:

Il existe une suite arithmétique composée d'une infinité d'entiers naturels impairs , ne s'écrivant pas de la forme , où  est un entier naturel, et un nombre premier ou égal à 1.

Lemme de la démonstration

La démonstration du théorème est basée sur le lemme élémentaire suivant:

Chaque entier naturel respecte au moins l'une de ces six congruences.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

Il s'ensuit que pour  l'une des six autres congruences doit être respectée, à l'aide de laquelle on démontre le théorème d'Erdős en utilisant le théorème des restes chinois.

Lectures complémentaires

  • Paul Erdős, On integers of the form 2k+p and some related problems, vol. 2, , 113–123 p., PDF
  • (en) Wacław Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, Amsterdam (u.a.), North-Holland, coll. « North-Holland Mathematical Library », , 513 p. (ISBN 0-444-86662-0, lire en ligne)

Références

  1. Sierpiński: S. 445.
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