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Théorème d'Eberlein-Šmulian

Le théorème d'Eberlein-Šmulian, nommé d'après William Frederick Eberlein (en) et Vitold Šmulian (de), est le résultat suivant d'analyse fonctionnelle :

Pour toute partie d'un espace de Banach muni de sa topologie faible, les propriétés de compacité, compacité séquentielle et compacité dénombrable sont équivalentes, et de même pour leurs versions relatives.

Ce théorème est remarquable parce que dans un espace séparé quelconque, on a seulement « compact ⇒ dénombrablement compact » et « séquentiellement compact ⇒ dénombrablement compact ». Ces trois propriétés sont équivalentes dans un espace métrisable, mais cet espace-ci n'en est pas un (sauf s'il est de dimension finie)[1].

Remarques

Applications

Sachant qu'un espace de Banach est réflexif si et seulement sa boule unité est faiblement compacte, le théorème d'Eberlein-Šmulian fournit un autre critère : un espace de Banach est réflexif si et seulement si sa boule unité est faiblement séquentiellement compacte ou, ce qui est équivalent, si toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Ce critère a des répercussions dans la théorie des équations aux dérivées partielles, en particulier dans les espaces de Sobolev, car nombre d'entre eux sont réflexifs. Comme beaucoup d'équations aux dérivées partielles n'ont de solutions qu'en un sens faible, ce théorème est une étape importante pour choisir dans quel espace de solutions faibles on résout une telle équation.

Notes et références

(de)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en allemand « Satz von Eberlein–Šmulian » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Eberlein–Šmulian theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. Cependant, dans un espace de Banach E muni de la topologie faible, tout compact est métrisable dès que E est séparable et même, toute partie bornée (en norme) est métrisable dès que le dual topologique E' est séparable : (en) Leszek Gasiński et Nikolaos Socrates Papageorgiou, Nonsmooth Critical Point Theory and Nonlinear Boundary Value Problems, CRC Press, , 775 p. (ISBN 978-1-58488-485-9, lire en ligne), p. 721 et Daniel Li, « Analyse Fonctionnelle (Master 1 Mathématiques-Informatique) – chap. 8 : Dualité », p. 8-9
  2. (en) D. H. Fremlin, Measure Theory, vol. 4, Torres Fremlin, (ISBN 978-0-95381294-3, lire en ligne), chap. 46 (« Pointwise compact sets of measurable functions »), p. 22

Bibliographie

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