Système d'unités naturelles

La règle de Wheeler énonce que dans un système d'unités convenablement choisi, les constantes sans dimension valent 1 (ou sont proches de l'unité en ordre de grandeur ; en particulier, un facteur 2π peut intervenir).

Il est le plus familier au physicien-chimiste ; dans l'article système d'unités atomiques a été développée la notion de système de Bohr, et elle a été distinguée du système de Schrödinger, cela donne une bonne idée de ce que l'analyse dimensionnelle (le scaling ou dimensional units en anglais) peut apporter en physique.

Insistons sur le fait qu'il faut d'abord connaitre les équations physiques du problème.

• L'exemple classique est celui de Taylor sur la bombe atomique. L'armée américaine ayant déclassé en 1950 les photographies de la boule de feu d'Hiroshima (6 août 1945), Taylor constata que le rayon de la boule ne croissait pas linéairement avec le temps, mais plutôt comme t^2/5[4]. Soit E₀ l'énergie de la boule de feu et ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique de l'air. Puisque l'énergie de la boule de feu provient essentiellement du mouvement des gaz chauds déplacés, cette énergie peut être écrite comme suit :

  ${\displaystyle E_{0}\simeq {\dfrac {1}{2}}mv^{2}\sim (\rho r^{3})\left({\dfrac {r}{t}}\right)^{2}}$, soit : ${\displaystyle r\sim t^{2/5}\left({\dfrac {E_{0}}{\rho }}\right)^{1/5}}$

  À partir des photographies Taylor obtint la valeur de E₀, avec la règle de Wheeler. Les raisonnements par analyse dimensionnelle nécessitent donc d'isoler au préalable les grandeurs et relations physiques décrivant le système étudié.

• Les raisonnements par analyse dimensionnelle sont également très utiles dans l'étude de la turbulence. À nouveau il faut prendre soin d'isoler les bonnes équations et quantités décrivant le système physique étudié. Ainsi, considérons la relation de dispersion pour des ondes de surface dans le régime de gravité : ${\displaystyle \omega ^{2}=gk}$. Raisonner par analyse dimensionnelle indique alors que la densité spectrale de puissance sera telle que ${\displaystyle S_{grav}\sim \rho ^{-1/3}g\epsilon ^{1/3}\omega ^{-4}}$[5], ce qui est mesurable expérimentalement. En revanche, si les ondes de surface considérées sont des ondes de capillarité, alors la relation de dispersion devient ${\displaystyle \omega ^{2}={\dfrac {\gamma }{\rho }}k^{3}}$ . La densité spectrale de puissance devient alors ${\displaystyle S_{cap}\sim \rho ^{-2/3}\gamma ^{1/6}\epsilon ^{1/2}\omega ^{-17/6}}$[5], à nouveau vérifié expérimentalement. Cet exemple met en exergue qu'un raisonnement par analyse dimensionnelle ne dispense pas d'isoler la physique du problème considéré, sous peine d'obtenir des résultats incohérents.