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Suite de Somos

En mathématiques, une suite de Somos est une suite de nombres définie par une certaine relation de récurrence ; elles furent découvertes par Michael Somos (en). Il n'est nullement évident d'après leur définition qu'elles soient formées d'entiers, mais c'est cependant le cas des sept premières suites.

Relations de récurrence

Pour un entier k > 1, la k-suite de Somos est définie par la relation de récurrence :

pour k impair, et par la relation similaire

pour k pair, avec les valeurs initiales

ai = 1 pour i < k.

Pour k = 2 ou 3, ces relations définissent la suite constante (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). Les deux premiers cas non triviaux correspondent aux récurrences

pour k = 4 et

pour k = 5.

Les premières valeurs de ces suites sont :

1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (k=4, suite A006720 de l'OEIS),
1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (k=5, suite A006721 de l'OEIS),
1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (k=6, suite A006722 de l'OEIS),
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (k=7, suite A006723 de l'OEIS).

Suites d'entiers

Bien que les récurrences précédentes définissent les suites de Somos sous forme de fractions, les suites pour k ≤ 7 ne contiennent que des valeurs entières. Plusieurs mathématiciens ont étudié cette propriété, pour la démontrer[1] ou pour l'expliquer plus généralement, en la reliant en particulier à d'autres questions, comme celle des fonctions thêta sur des surfaces abéliennes[2] - [3] - [4].

Pour k ≥ 8, les suites analogues finissent par contenir des valeurs non entières[5] ; même pour k < 7, la même relation de récurrence, mais avec des valeurs initiales différentes, produit également des valeurs non entières en général.

Notes

  1. Une démonstration élémentaire pour le cas k=5, due à Michael Crabb (de l'université de Glasgow), se trouve sur « le site de Michael Wemyss »(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?) (en).
  2. (en) Janice L. Malouf, « An integer sequence from a rational recursion », Discrete Mathematics, vol. 110,‎ , p. 257–261 (DOI 10.1016/0012-365X(92)90714-Q)
  3. (en) Sergueï Fomine et Andrei Zelevinsky, « The Laurent phenomenon », Advances in Applied Mathematics, vol. 28,‎ , p. 119-144 (arXiv math.CO/0104241)
  4. (en) Gabriel D. Carroll et David E. Speyer, « The cube recurrence », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 11,‎ , R73 (arXiv math.CO/0403417)
  5. Voir la suite A030127 de l'OEIS.

Liens externes

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